Stopień statycznej niewyznaczalności

SSN=5-3-1=1

Stopień kinematycznej niewyznaczalności

\( \mathrm{SKN}=\varphi+\Delta=1+1=2 \)

Liczba stopni swobody dynamicznej

LSSD=2
\( m_1=m\\ m_2=0,5m\)

Przypadki obciążenia od sił jednostkowych przyłożonych w miejscu swobód dynamicznych

Z uwagi na to, że układ jest niewyznaczalny rozwiążemy belkę METODĄ SIŁ

Układ podstawowy metody sił

stan x1=1

\( \delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 4+\frac{1}{3} \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 2+\frac{1}{3} \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 5\right)=\frac{23}{12} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \)

Stan P(q1)

\( \delta_{1 \mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 0.5 \cdot 2 \cdot 1+\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2+\frac{1}{3} \cdot 0.5 \cdot 1 \cdot 2+\frac{1}{3} \cdot 0.5 \cdot 1 \cdot 2+\frac{1}{3} \cdot 0.5 \cdot 1 \cdot 5\right)=\frac{13}{6} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \)

Równanie kanoniczne metody sił

Mamy ostateczny wykres momentów od siły jednostkowej przyłożonej w miejscu pierwszej swobody dynamicznej. Następnie metodą sił określimy wykres momentów od siły jednostkowej w miejscu q2. Stan x1=1 jest taki sam jak dla pierwszego przypadku, tak samo δ11.

Rysujemy stan P(q2)

\begin{aligned} &\delta_{1 \mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 5 \cdot 0 \cdot 5\right)=\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\mathrm{x}_1=\frac{-\delta_{1 \mathrm{p}}}{\delta_{11}}=-\delta_{1 \mathrm{p}} \cdot \frac{1}{\delta_{11}} \end{aligned}

Kolejny krok to obliczenie delt dynamicznych (czyli przecałkowanie między sobą wykresów ostatecznych) do wzoru na częstości drgań własnych.
Zwróćmy uwagę na podpisanie wykresów ostatecznych, oprócz Most1 i Most2 w nawiasie mamy (M1N) oraz (M2N), natomiast przy wykresach w stanie P mamy M1W oraz M2W.
Jeśli spojrzymy na wykresy M2N oraz M2W to zorientujemy się, że są to wykresy od tej samej siły, jednak ten pierwszy jest w układzie niewyznaczalnym (z utwierdzeniem z lewej strony, czyli wykres ostateczny - M2N), natomiast ten drugi - M2W - to wykres w układzie wyznaczalnym.
Tak samo w stanie pierwszym.
W tym momencie przydatna jest znajomość twierdzenia redukcyjnego, które uprości nam całkowanie które musimy wykonać.
Na oznaczeniach wykresów, których użyliśmy w tym zadaniu można je zapisać tak:
\begin{aligned} &\delta_{11}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{1 \mathrm{~W}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{12}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_2 \mathrm{~W}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~W}} \cdot \mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{22}=\int \frac{\mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS}=\int \frac{\mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_2 \mathrm{~W}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \end{aligned}
Co oznacza, że zamiast całkować wykresy ostateczne ze sobą, możemy skorzystać również
z wykresów w stanie P, które są łatwiejsze i to uprości nam całkowanie.
$$ \begin{aligned} &\delta_{11}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{1 \mathrm{~W}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{10}{23}-\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{26}{23}+\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{10}{23}+\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{10}{23}+\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 5 \cdot \frac{10}{23}\right)=\frac{28}{23} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{22}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{N} 2} \cdot \mathrm{M}_{2 \mathrm{~W}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2-\frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \frac{5}{23}+\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\right)=\frac{619}{69} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$
δ12 i δ21 obliczymy na dwa sposoby dla sprawdzenia
\begin{aligned} &\delta_{12}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_2 \mathrm{~W}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{10}{23} \cdot 5 \cdot 2\right)=\frac{50}{69} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{21}=\int \frac{\mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{1 \mathrm{~W}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{21}=\frac{1}{\mathrm{EI}}\left(\frac{-1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{5}{23}-\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{10}{23}-\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{5}{23}-\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{5}{23}-\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 5 \cdot \frac{5}{23}+\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5\right)=\frac{50}{69\cdot EI} \\ &\mathrm{m}_1=1 \cdot \mathrm{m} \quad \mathrm{m}_2=0.5 \mathrm{~m} \end{aligned}

Częstości drgań (uwaga, podejść do obliczania częstości drgań jest kilka, więcej we wstępie teoretycznym - LNK)

\begin{aligned} &\left|\left(\begin{array}{cc} \delta_{11} \cdot \mathrm{m}_1-\frac{1}{\omega^2} & \delta_{12} \cdot \mathrm{m}_2 \\ \delta_{21} \cdot \mathrm{m}_1 & \delta_{22} \cdot \mathrm{m}_2-\frac{1}{\omega^2} \end{array}\right)\right|=0\\ &\text { przemnażam macierz przez } \frac{\text { EI }}{\mathrm{m}} \text { i podstawiam } \quad \mathrm{x}=\frac{1}{\omega^2} \cdot \frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}\\ &\left|\left(\begin{array}{cc} \delta_{11} \cdot \mathrm{m}_1-\mathrm{x} & \delta_{12} \cdot \mathrm{m}_2 \\ \delta_{21} \cdot \mathrm{m}_1 & \delta_{22} \cdot \mathrm{m}_2-\mathrm{x} \end{array}\right)\right|=0 \rightarrow\left|\left(\begin{array}{cc} \frac{28}{23} \cdot 1-\mathrm{x} & \frac{50}{69} \cdot \frac{1}{2} \\ \frac{50}{69} \cdot 1 & \frac{619}{69} \cdot \frac{1}{2}-\mathrm{x} \end{array}\right)\right|=0\\ &\left|\left(\begin{array}{cc} \frac{28}{23}-x & \frac{25}{69} \\ \frac{50}{69} & \frac{619}{138}-x \end{array}\right)\right|=0\\ &\left(\frac{28}{23}-\mathrm{x}\right) \cdot\left(\frac{619}{138}-\mathrm{x}\right)-\frac{25}{69} \cdot \frac{50}{69}=0 \rightarrow \mathrm{x}^2-\frac{787 \cdot \mathrm{x}}{138}+\frac{1076}{207}=0 \end{aligned}
Pierwiastki równania kwadratowego:
$$ \begin{aligned} &\mathrm{x}_1=4.564 \\ &\mathrm{x}_2=1.1389 \end{aligned} $$
Częstości drgań własnych
$$ \begin{aligned} &x=\frac{1}{\omega^2} \cdot \frac{E I}{m} \quad \omega=\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\frac{E I}{m}} \\ &\omega_1=\frac{1}{\sqrt{x_1}} \cdot \sqrt{\frac{E I}{m}}=0.4681 \cdot \sqrt{\frac{E I}{m}} \\ &\omega_2=\frac{1}{\sqrt{x_2}} \cdot \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}}=0.937 \cdot \sqrt{\frac{E I}{m}} \\ \end{aligned} $$ $$ $$
Oszacowanie podstawowej częstości drgań
Oszacowanie z dołu (metoda Dunkerlay-a)
$$ \omega_{\min }=\sqrt{\frac{1}{\mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{11}+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{22}}}=0.4187 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} $$
Oszacowanie z góry (metoda Rayleigh-a)
$$ \delta_{22}=\frac{619}{69} \cdot \frac{1}{\text { EI }}>\delta_{11}=\frac{28}{23} \cdot \frac{1}{\text { EI }} $$ jeżeli \( \delta_{11}>\delta_{22} \) $$ \omega_{\max }=\sqrt{\frac{\delta_{11}}{\mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{11}{ }^2+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{12}{ }^2}} $$ jeżeli \( \delta_{22}> \delta_{11} \) $$ \omega_{\max }=\sqrt{\frac{\delta_{22}}{\mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{21}^2+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{22}^2}}=0.4691 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} $$ \( \omega_{\min }<\omega_1<\omega_{\max } \)
\( 0.4187 \sqrt{\frac{E I}{m}}<0.4681 \sqrt{\frac{E I}{m}}<0.4691 \sqrt{\frac{E I}{m}} \)

warunek spełniony
\begin{aligned} &\text { Amplitudy drgań własnych }\\ &\left(\begin{array}{cc} \frac{28}{23}-x & \frac{25}{69} \\ \frac{50}{69} & \frac{619}{138}-x \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} A_1 \\ A_2 \end{array}\right)=0\\ &\left(\frac{28}{23}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_1+\frac{25}{69} \cdot \mathrm{A}_2=0\\ &\frac{50}{69} \cdot \mathrm{A}_1+\left(\frac{619}{138}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_2=0 \end{aligned}
Taki układ równań zawsze ma nieskończenie wiele rozwiązań. W zasadzie mamy dwa układy równań, ponieważ raz podstawiamy x1, raz podstawiamy x2. Mamy za zadanie pokazać jedno przykładowe rozwiązanie (dla obu układów równań), najczęściej przyjmując po prostu za jedną z niewiadomych wartość równą \( 1(\mathrm{np} . \mathrm{A} 1=1) \mathrm{i} \) obliczając ile wychodzi druga niewiadoma. Po rozwiązaniu tego problemu np. z pierwszego równania, możemy sprawdzić rozwiązanie podstawiając \( \mathrm{A} 1 oraz \mathrm{A} 2 \) do drugiego równania. Możemy również przekstałcić np. pierwsze równanie do postaci \( \mathrm{A} 2=\ldots \) i zakładając że za A1 będziemy przyjmowali wartość równą 1 - wstawić do przekształconego równania raz \( \times 1 \) , raz x2 i obliczyć drugą niewiadomą. Tak też zrobimy:
z pierwszego równania
$$ \mathrm{A}_2=\frac{\left(\frac{28}{23}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_1}{-\frac{25}{69}} $$ \( Dla \quad \mathrm{x}_1=4.564 \quad zakładam \quad \mathrm{A}_{11}=1 \) $$ \mathrm{A}_{21}=\frac{\left(\frac{28}{23}-\mathrm{x}_1\right) \cdot \mathrm{A}_{11}}{-\frac{25}{69}}=9.237 $$ \( Dla \quad \mathrm{x}_2=1.1389 \quad zakładam \quad \mathrm{A}_{12}=1 \) $$ \mathrm{A}_{22}=\frac{\left(\frac{28}{23}-\mathrm{x}_2\right) \cdot \mathrm{A}_{12}}{-\frac{25}{69}}=-0.217 $$
Warunek ortogonalności $$ \mathrm{A}_{11} \cdot \mathrm{A}_{12} \cdot \mathrm{m}_1+\mathrm{A}_{21} \cdot \mathrm{A}_{22} \cdot \mathrm{m}_2=0 $$ $$ \begin{array}{r} 1 \cdot 1 \cdot \mathrm{m}-9,237 \cdot (-0,217) \cdot 0,5 \mathrm{~m}=0 \\ -0,002 \mathrm{~m} \sim 0 \end{array} $$

Postacie drgań

Dynamika

Mechanika budowli - Dynamika - Przykład 4

Przykład 4