Stopień statycznej niewyznaczalności

SSN=5-3-1=1

Stopień kinematycznej niewyznaczalności

\( \mathrm{SKN}=\varphi+\Delta=2+1=3 \)

Liczba stopni swobody dynamicznej

LSSD=2
\( m_1=0,5m\\ m_2=m\)

Przypadki obciążenia od sił jednostkowych przyłożonych w miejscu swobód dynamicznych

Z uwagi na to, że układ jest niewyznaczalny rozwiążemy belkę METODĄ SIŁ

Układ podstawowy metody sił

Rozwiązanie metody sił od obciążenia siłą jednostkową w miejscu pierwszej swobody dynamicznej

$$ \begin{aligned} &\delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(1 \cdot 2 \cdot 1+\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2+\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2+\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 6\right)=\frac{16}{3} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{1 \mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{-1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1\right)=-2 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ Równanie kanoniczne metody sił $$ \begin{aligned} &\delta_{11} \cdot \mathrm{x}_1+\delta_{1 \mathrm{p}}=0 \\ &\mathrm{x}_1=\frac{-\delta_{1 \mathrm{p}}}{\delta_{11}}=0.375 \end{aligned} $$

\begin{aligned} &\mathrm{M}_{\mathrm{ost} 1}=\mathrm{M}_1 \cdot \mathrm{x}_1+\mathrm{M}_{\mathrm{P}}\left(\mathrm{q}_1\right) \\ &\mathrm{M}_{\mathrm{A}}=-1 \cdot \mathrm{x}_1+2=1.625 \\ &\mathrm{M}_{\mathrm{B}}=-1 \cdot \mathrm{x}_1=-0.375 \\ &\mathrm{M}_{\mathrm{D}}=1 \cdot \mathrm{x}_1=0.375 \\ &\mathrm{M}_{\mathrm{E}}=0.5 \cdot \mathrm{x}_1=0.1875 \end{aligned}

Mamy ostateczny wykres momentów od siły jednostkowej przyłożonej w miejscu pierwszej swobody dynamicznej. Następnie metodą sił określimy wykres momentów od siły jednostkowej w miejscu drugiej swobody dynamicznej. Stan x1=1 jest taki sam jak dla pierwszego przypadku, tak samo δ11.
Rysujemy stan P(q2)

\begin{aligned} &\delta_{1 \mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 0.5 \cdot 3 \cdot 1.5+\frac{1}{3} \cdot 0.5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 5+\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 5\right)=2,25 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\mathrm{x}_1=\frac{-\delta_{1 \mathrm{p}}}{\delta_{11}}=-\frac{27}{64} \\ \end{aligned}

\begin{aligned} &\mathrm{M}_{\mathrm{ost} 2}=\mathrm{M}_1 \cdot \mathrm{x}_1+\mathrm{M}_{\mathrm{P}}\left(\mathrm{q}_2\right) \\ &\mathrm{M}_{\mathrm{A}}=-1 \cdot \mathrm{x}_1=\frac{27}{64} \\ &\mathrm{M}_{\mathrm{B}}=-1 \cdot \mathrm{x}_1=\frac{27}{64} \\ &\mathrm{M}_{\mathrm{D}}=1 \cdot \mathrm{x}_1=-\frac{27}{64} \\ &\mathrm{M}_{\mathrm{E}}=0.5 \cdot \mathrm{x}_1+1.5=\frac{165}{128} \end{aligned}

Kolejny krok to obliczenie delt dynamicznych (czyli przecałkowanie między sobą wykresów ostatecznych) do wzoru na częstości drgań własnych.
Zwróćmy uwagę na podpisanie wykresów ostatecznych, oprócz Most1 i Most2 w nawiasie mamy (M1N) oraz (M2N), natomiast przy wykresach w stanie P mamy M1W oraz M2W.
Jeśli spojrzymy na wykresy M2N oraz M2W to zorientujemy się, że są to wykresy od tej samej siły, jednak ten pierwszy jest w układzie niewyznaczalnym (z utwierdzeniem z lewej strony, czyli wykres ostateczny - M2N), natomiast ten drugi - M2W - to wykres w układzie wyznaczalnym.
Tak samo w stanie pierwszym.
W tym momencie przydatna jest znajomość twierdzenia redukcyjnego, które uprości nam całkowanie które musimy wykonać.
Na oznaczeniach wykresów, których użyliśmy w tym zadaniu można je zapisać tak:
\begin{aligned} &\delta_{11}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{1 \mathrm{~W}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{12}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_2 \mathrm{~W}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~W}} \cdot \mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{22}=\int \frac{\mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS}=\int \frac{\mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_2 \mathrm{~W}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \end{aligned}
Co oznacza, że zamiast całkować wykresy ostateczne ze sobą, możemy skorzystać również
z wykresów w stanie P, które są łatwiejsze i to uprości nam całkowanie.
$$ $$ \begin{aligned} &\delta_{11}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{1 \mathrm{~W}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1.625-\frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 0.375\right)=\frac{23}{12} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{22}=\int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{N} 2} \cdot \mathrm{M}_{2 \mathrm{~W}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{-1}{6} \cdot 1.5 \cdot 3 \cdot \frac{27}{64}+\frac{1}{3} \cdot 1.5 \cdot 3 \cdot \frac{165}{128}+\frac{1}{3} \cdot 1.5 \cdot 3 \cdot \frac{165}{128}\right)=\frac{909}{256} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ \text{δ12 i δ21 obliczymy na dwa sposoby dla sprawdzenia} $$ \begin{aligned} &\delta_{12}=\int \frac{\mathrm{M}_{1 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{2 \mathrm{~W}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 0.1875 \cdot 3 \cdot 1.5+\frac{1}{6} \cdot 0.375 \cdot 3 \cdot 1.5+\frac{1}{3} \cdot 0.1875 \cdot 3 \cdot 1.5\right)=\frac{27}{32} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{21}=\int \frac{\mathrm{M}_{2 \mathrm{~N}} \cdot \mathrm{M}_{11 \mathrm{~W}}}{\mathrm{EI}} \mathrm{dS} \\ &\delta_{21}=\frac{1}{\mathrm{EI}}\left(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{27}{64}\right)=\frac{27}{32} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\mathrm{m}_1=0.5 \cdot \mathrm{m} \quad \mathrm{m}_2=1 \mathrm{~m} \end{aligned}

Częstości drgań (uwaga, podejść do obliczania częstości drgań jest kilka, więcej we wstępie teoretycznym - LNK)

\begin{aligned} &\left|\left(\begin{array}{cc} \delta_{11} \cdot \mathrm{m}_1-\frac{1}{\omega^2} & \delta_{12} \cdot \mathrm{m}_2 \\ \delta_{21} \cdot \mathrm{m}_1 & \delta_{22} \cdot \mathrm{m}_2-\frac{1}{\omega^2} \end{array}\right)\right|=0\\ &\text { przemnażam macierz przez } \frac{\text { EI }}{\mathrm{m}} \text { i podstawiam } \quad \mathrm{x}=\frac{1}{\omega^2} \cdot \frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}\\ \end{aligned} \begin{aligned} &\left|\left(\begin{array}{cc} \delta_{11} \cdot \mathrm{m}_1-\mathrm{x} & \delta_{12} \cdot \mathrm{m}_2 \\ \delta_{21} \cdot \mathrm{m}_1 & \delta_{22} \cdot \mathrm{m}_2-\mathrm{x} \end{array}\right)\right|=0 \rightarrow\left|\left(\begin{array}{cc} \frac{23}{12} \cdot \frac{1}{2}-\mathrm{x} & \frac{27}{32} \cdot 1 \\ \frac{27}{32} \cdot \frac{1}{2} & \frac{909}{256} \cdot 1-\mathrm{x} \end{array}\right)\right|=0\\ \left|\left(\begin{array}{cc} \frac{23}{24}-x & \frac{27}{32} \\ \frac{27}{64} & \frac{909}{256}-x \end{array}\right)\right|=0 \\ &\left(\frac{23}{24}-x\right) \cdot\left(\frac{909}{256}-x\right)-\frac{27}{32} \cdot \frac{27}{64}=0 \rightarrow x^2-\frac{3463 \cdot x}{768}+\frac{195}{64}=0 \end{aligned}
Rozwiązanie równania: $$ \begin{aligned} &x_1=3.6815 \\ &x_2=0.8276 \end{aligned} $$ Częstości drgań własnych $$ \mathrm{x}=\frac{1}{\omega^2} \cdot \frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}} \quad \omega=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} $$ $$ \omega_1=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}_1}} \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}=0.5212 \cdot \sqrt{\frac{\text { EI }}{\mathrm{m}}} $$ $$ \omega_2=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}_2}} \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}=1.0992 \cdot \sqrt{\frac{\text { EI }}{\mathrm{m}}} $$ $$ $$
Oszacowanie podstawowej częstości drgań
Oszacowanie z dołu (metoda Dunkerlay-a)
$$ \omega_{\min }=\sqrt{\frac{1}{\mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{11}+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{22}}}=0.4709 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} $$
Oszacowanie z góry (metoda Rayleigh-a)
$$ \delta_{22}=\frac{909}{256} \cdot \frac{1}{\text { EI }}>\delta_{11}=\frac{23}{12} \cdot \frac{1}{\text { EI }} $$ jeżeli \( \delta_{11}>\delta_{22} \) $$ \omega_{\max }=\sqrt{\frac{\delta_{11}}{\mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{11}{ }^2+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{12}{ }^2}} $$ jeżeli \( \delta_{22}> \delta_{11} \) $$ \omega_{\max }=\sqrt{\frac{\delta_{22}}{\mathrm{~m}_1 \cdot \delta_{21}^2+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{22}^2}}=0.5234 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} $$ \( \omega_{\min }<\omega_1<\omega_{\max } \)
\( 0.4709 \sqrt{\frac{E I}{m}}<0.5212 \sqrt{\frac{E I}{m}}<0.5234 \sqrt{\frac{E I}{m}} \)

warunek spełniony
\begin{aligned} &\text { Amplitudy drgań własnych }\\ &\left(\begin{array}{cc} \frac{23}{24}-x & \frac{27}{32} \\ \frac{27}{64} & \frac{909}{256}-x \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} A_1 \\ A_2 \end{array}\right)=0\\ &\left(\frac{23}{24}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_1+\frac{27}{32} \cdot \mathrm{A}_2=0\\ &\frac{27}{64} \cdot \mathrm{A}_1+\left(\frac{909}{256}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_2=0 \end{aligned}
Taki układ równań zawsze ma nieskończenie wiele rozwiązań. W zasadzie mamy dwa układy równań, ponieważ raz podstawiamy x1, raz podstawiamy x2. Mamy za zadanie pokazać jedno przykładowe rozwiązanie (dla obu układów równań), najczęściej przyjmując po prostu za jedną z niewiadomych wartość równą \( 1(\mathrm{np} . \mathrm{A} 1=1) \mathrm{i} \) obliczając ile wychodzi druga niewiadoma. Po rozwiązaniu tego problemu np. z pierwszego równania, możemy sprawdzić rozwiązanie podstawiając \( \mathrm{A} 1 oraz \mathrm{A} 2 \) do drugiego równania. Możemy również przekstałcić np. pierwsze równanie do postaci \( \mathrm{A} 2=\ldots \) i zakładając że za A1 będziemy przyjmowali wartość równą 1 - wstawić do przekształconego równania raz \( \times 1 \) , raz x2 i obliczyć drugą niewiadomą. Tak też zrobimy:
z pierwszego równania
$$ \mathrm{A}_2=\frac{\left(\frac{23}{24}-\mathrm{x}\right) \cdot \mathrm{A}_1}{-\frac{27}{32}} $$ \( Dla \quad \mathrm{x}_1=3.6815 \quad zakładam \quad \mathrm{A}_{11}=1 \) $$ \mathrm{A}_{21}=\frac{\left(\frac{23}{24}-\mathrm{x}_1\right) \cdot \mathrm{A}_{11}}{-\frac{27}{32}}=3.227 $$ \( Dla \quad \mathrm{x}_2=0.8276 \quad zakładam \quad \mathrm{A}_{12}=1 \) $$ \mathrm{A}_{22}=\frac{\left(\frac{23}{24}-\mathrm{x}_2\right) \cdot \mathrm{A}_{12}}{-\frac{27}{32}}=-0.155 $$
Warunek ortogonalności $$ \mathrm{A}_{11} \cdot \mathrm{A}_{12} \cdot \mathrm{m}_1+\mathrm{A}_{21} \cdot \mathrm{A}_{22} \cdot \mathrm{m}_2=0 $$ $$ \begin{array}{r} 1 \cdot 1 \cdot 0,5\cdot \mathrm{m}-3,227 \cdot (-0,155) \cdot \mathrm{~m}=0 \\ -0,0002 \mathrm{~m} \sim 0 \end{array} $$

Postacie drgań

Dynamika

Mechanika budowli - Dynamika - Przykład 5

Przykład 5