Stopień statycznej niewyznaczalności

SSN=3-3=0

Liczba stopni swobody dynamicznej

LSSD=2
\( m_1=m\\ m_2=2m\)

Wykresy momentów od sił jednostkowych przyłożonych w miejscu swobód dynamicznych

Reakcje $$ \begin{array}{ll} \Sigma \mathrm{y}=0 & \mathrm{~V}_{\mathrm{A}}=1 \\ \Sigma \mathrm{x}=0 & \mathrm{H}_{\mathrm{B}}=0 \\ \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{B}}=0 & -\mathrm{M}_{\mathrm{B}}+\mathrm{V}_{\mathrm{A}} \cdot 3-1 \cdot 5=0 \quad \mathrm{M}_{\mathrm{B}}=-2 \end{array} $$

Reakcje \begin{aligned} &\Sigma \mathrm{y}=0 \quad \mathrm{~V}_{\mathrm{A}}=1\\ &\Sigma \mathrm{x}=0 \quad \mathrm{H}_{\mathrm{B}}=0\\ &\Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{B}}=0 \quad-\mathrm{M}_{\mathrm{B}}+\mathrm{V}_{\mathrm{A}} \cdot 3=0 \quad \mathrm{M}_{\mathrm{B}}=3 \end{aligned}

Delty dynamiczne $$ \begin{aligned} &\delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2+2 \cdot 3 \cdot 2\right)=\frac{44}{3} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\right)=9 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{-1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2\right)=-9 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \quad \delta_{21}=\delta_{12} \end{aligned} $$ Częstości drgań (uwaga, podejść do obliczania częstości drgań jest kilka, więcej we wstępie teoretycznym - LINK)
\( m_1=m \quad m_2=2 m \) \begin{aligned} &\left|\left(\begin{array}{cc} \delta_{11} \cdot \mathrm{m}_1-\frac{1}{\omega^2} & \delta_{12} \cdot \mathrm{m}_2 \\ \delta_{21} \cdot \mathrm{m}_1 & \delta_{22} \cdot \mathrm{m}_2-\frac{1}{\omega^2} \end{array}\right)\right|=0\\ &\left|\left(\begin{array}{cc} \frac{44}{3 \cdot \mathrm{EI}} \mathrm{m}-\frac{1}{\omega^2} & \frac{-9}{\mathrm{EI}} \cdot 2 \mathrm{~m} \\ \frac{-9}{\mathrm{EI}} \cdot \mathrm{m} & \frac{9}{\mathrm{EI}} \cdot 2 \mathrm{~m}-\frac{1}{\omega^2} \end{array}\right)\right|=0 \end{aligned} przemnażam macierz przez \( \frac{\text { EI }}{\mathrm{m}} \) i podstawiam \( \mathrm{x}=\frac{1}{\omega^2} \cdot \frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}} \) $$ \left|\left(\begin{array}{cc} \frac{44}{3}-\mathrm{x} & -18 \\ -9 & 18-\mathrm{x} \end{array}\right)\right|=0
\begin{aligned} \\ \\ \\ \\ \\ &\left(\frac{44}{3}-x\right) \cdot(18-x)-18 \cdot 9=0 \rightarrow x^2-\frac{98 \cdot x}{3}+102=0 \end{aligned}
$$ Rozwiązanie równania: $$ \begin{aligned} &\mathrm{x}_1=29.1699 \\ &\mathrm{x}_2=3.4968 \end{aligned} $$ Częstości drgań własnych $$ \begin{aligned} &\mathrm{x}=\frac{1}{\omega^2} \cdot \frac{\text { EI }}{\mathrm{m}} \\ &\omega_1=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}_1}} \cdot \sqrt{\frac{\text { EI }}{\mathrm{m}}}=0.1852 \cdot \sqrt{\frac{\text { EI }}{\mathrm{m}}} \\ &\omega_2=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}_2}} \cdot \sqrt{\frac{\text { EI }}{\mathrm{m}}}=0.5348 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \end{aligned} $$ Oszacowanie podstawowej częstości drgań
Oszacowanie z dołu (metoda Dunkerlay-a) $$ \begin{aligned} &\omega_{\min }=\sqrt{\frac{1}{m_1 \cdot \delta_{11}+m_2 \cdot \delta_{22}}} \\ &\omega_{\min }=\sqrt{\frac{1}{m \cdot \frac{44}{3 E I}+2 m \cdot \frac{9}{E I}}}=0.175 \cdot \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}} \end{aligned} $$ Oszacowanie z góry (metoda Rayleigh-a)
jeżeli \( \delta 11>\delta 22 \) $$ \omega_{\max }=\sqrt{\frac{\delta_{11}}{m_1 \cdot \delta_{11}{ }^2+m_2 \cdot \delta_{12}^2}} $$ jeżeli \( \delta 22>\delta 11 \) $$ \begin{aligned} &\omega_{\max }=\sqrt{\frac{\delta_{22}}{m_1 \cdot \delta_{21}^2+m_2 \cdot \delta_{22}^2}} \\ &\text{W naszym przypadku} \\ &\delta_{11}=\frac{44}{3 \mathrm{EI}}=14.667 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}}>\delta_{22}=\frac{9}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ $$ \omega_{\max }=\sqrt{\frac{\frac{44}{3 \mathrm{EI}}}{\mathrm{m} \cdot\left(\frac{44}{3 \mathrm{EI}}\right)^2+2 \mathrm{~m} \cdot\left(\frac{-9}{\mathrm{EI}}\right)^2}}=0.1972 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} $$ $$ \text{Oszacowanie daje pozytywny rezultat} \\ \omega_{\min }<\omega_1<\omega_{\max } $$ $$ 0.175 \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}}<0.1852 \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}}<0.1972 \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}} $$ warunek spełniony

Amplitudy drgań własnych

$$ \left(\begin{array}{cc} \frac{44}{3}-\mathrm{x} & -18 \\ -9 & 18-\mathrm{x} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} A_1 \\ A_2 \end{array}\right)=0 $$ Zamiana równania macierzowego na układ równań liniowych $$ \begin{aligned} &\left(\frac{44}{3}-x\right) \cdot A_1-18 \cdot A_2=0 \\ &-9 \cdot A_1+(18-x) \cdot A_2=0 \end{aligned} $$ Taki układ równań zawsze ma nieskończenie wiele rozwiązań. W zasadzie mamy dwa układy równań, ponieważ raz podstawiamy x1, raz podstawiamy x2. Mamy za zadanie pokazać jedno przykładowe rozwiązanie (dla obu układów równań), najczęściej przyjmując po prostu za jedną z niewiadomych wartość równą \( 1(\mathrm{np} . \mathrm{A} 1=1) \mathrm{i} \) obliczając ile wychodzi druga niewiadoma. Po rozwiązaniu tego problemu np. z pierwszego równania, możemy sprawdzić rozwiązanie podstawiając \( \mathrm{A} 1 oraz \mathrm{A} 2 \) do drugiego równania. Możemy również przekstałcić np. pierwsze równanie do postaci \( \mathrm{A} 2=\ldots \) i zakładając że za A1 będziemy przyjmowali wartość równą 1 - wstawić do przekształconego równania raz \( \times 1 \) , raz x2 i obliczyć drugą niewiadomą. Tak też zrobimy: z pierwszego równania $$ A_2=\frac{\left(\frac{44}{3}-x\right) \cdot A_1}{18} $$ Dla \( \mathrm{x}_1=29.1699 \quad zakladam \quad \mathrm{A}_{1.1}=1 \) $$ A_{2.1}=\frac{\left(\frac{44}{3}-x_1\right) \cdot A_{1.1}}{18}=-0.806 $$ Dla \( \mathrm{x}_2=3.4968 \quad zakladam \quad \mathrm{A}_{1.2}=1 \) $$ A_{2.2}=\frac{\left(\frac{44}{3}-x_2\right) \cdot A_{1.2}}{18}=0.621 $$ Warunek ortogonalności $$ \mathrm{A}_{11} \cdot \mathrm{A}_{12} \cdot \mathrm{m}_1+\mathrm{A}_{21} \cdot \mathrm{A}_{22} \cdot \mathrm{m}_2=0 $$ $$ \begin{array}{r} 1 \cdot 1 \cdot \mathrm{m}-0.806 \cdot 0.621 \cdot 2 \mathrm{~m}=0 \\ -0,001 \mathrm{~m} \sim 0 \end{array} $$

Postacie drgań

Dynamika

Mechanika budowli - Dynamika - Przykład 3

Przykład 3