Determinamos los momentos torsionales en los intervalos característicos

\begin{aligned} &M_{B C}=-20 \mathrm{kNm} \\ &M_{A B}=-20+30=10 \mathrm{kNm} \\ \end{aligned}

Determinamos las tensiones cortantes máximas

\begin{aligned} &\tau=\frac{M_{S}}{W_{S}} \\ &W_{S}=\frac{\pi \cdot d^{3}}{16} \\ \end{aligned}

Para ello, necesitamos calcular los índices de resistencia a la torsión

\begin{aligned} &W_{S_{B C}}=\frac{\pi \cdot 0,06^{3}}{16}=4,24 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{3} \\ &W_{S_{A B}}=\frac{\pi \cdot 0,12^{3}}{16}=3,39 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} \\ \end{aligned}

Ahora podemos calcular las tensiones

\begin{aligned} &\tau=\frac{M_{B C}}{W_{S_{B C}}}=\frac{-20 \cdot 10^{3}}{4,24 \cdot 10^{-5}}=-471,57 \mathrm{MPa} \\ &\tau=\frac{M_{A B}}{W_{S_{A B}}}=\frac{10 \cdot 10^{3}}{3,39 \cdot 10^{-4}}=29,5 \mathrm{MPa} \end{aligned}

A continuación, calcularemos los ángulos de torsión en las secciones características respecto al anclaje

\begin{aligned} &\varphi=\frac{M_{S} \cdot l}{G \cdot I} \\ \end{aligned}

Para esto, necesitamos los momentos de inercia a la torsión

\begin{aligned} &I=\frac{\pi \cdot d^{4}}{32} \\ &I_{B C}=\frac{\pi \cdot 0,06^{4}}{32}=1,27 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{4} \\ &I_{A B}=\frac{\pi \cdot 0,12^{4}}{32}=2,04 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{4} \\ \end{aligned}

Por ejemplo: el ángulo de torsión de la sección C respecto a la sección B lo calcularemos de la siguiente manera:

\[ \varphi_{B C}=\frac{M_{S_{B C}} \cdot l_{B C}}{G \cdot I_{B C}} \]

Sin embargo, comencemos desde el anclaje en el punto A, donde sabemos que el ángulo de rotación es igual a 0

\[ \varphi_{A}=0 \]

A continuación, el ángulo de rotación de la sección B respecto a A:

\[ \varphi_{B}=\varphi_{A}+\varphi_{A B} \]

y el ángulo total de torsión, es decir, la suma del ángulo de torsión en B y la torsión de la sección C respecto a B

\[ \varphi_{C}=\varphi_{B}+\varphi_{B C} \]

Cálculos

\begin{aligned} &\varphi_{A B}=\frac{10 \cdot 10^{3} \cdot 3}{80 \cdot 10^{9} \cdot 2,04 \cdot 10^{-5}}=0,0183 \text{ rad} \\ &\varphi_{B C}=\frac{-20 \cdot 10^{3} \cdot 2}{80 \cdot 10^{9} \cdot 1,27 \cdot 10^{-6}}=-0,3937\text{ rad} \\ &\varphi_{B}=0+0,0183=0,0183 \text{ rad} \\ &\varphi_{C}=0,0183-0,3937=-0,3754 \text{ rad} \end{aligned}

Después de realizar todos los cálculos, podemos dibujar los gráficos de los momentos torsionales, las tensiones cortantes y el ángulo de torsión

Torsión

Resistencia de materiales - Torsión - Ejemplo 2

Ejemplo 2