Wyznaczamy momenty skręcające na przedziałach charakterystycznych

\begin{aligned} &M_{B C}=-20 \mathrm{kNm} \\ &M_{A B}=-20+30=10 \mathrm{kNm} \\ \end{aligned}

Wyznaczamy maksymalne naprężenia styczne

\begin{aligned} &\tau=\frac{M_{S}}{W_{S}} \\ &W_{S}=\frac{\pi \cdot d^{3}}{16} \\ \end{aligned}

W tym celu potrzebujemy policzyć wskaźniki wytrzymałości na skręcanie

\begin{aligned} &W_{S_{B C}}=\frac{\pi \cdot 0,06^{3}}{16}=4,24 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{3} \\ &W_{S_{A B}}=\frac{\pi \cdot 0,12^{3}}{16}=3,39 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} \\ \end{aligned}

Teraz możemy obliczyć naprężenia

\begin{aligned} &\tau=\frac{M_{B C}}{W_{S_{B C}}}=\frac{-20 \cdot 10^{3}}{4,24 \cdot 10^{-5}}=-471,57 \mathrm{MPa} \\ &\tau=\frac{M_{A B}}{W_{S_{A B}}}=\frac{10 \cdot 10^{3}}{3,39 \cdot 10^{-4}}=29,5 \mathrm{MPa} \end{aligned}

Następnie obliczymy kąty skręcenia w przekrojach charakterystycznych względem utwierdzenia

\begin{aligned} &\varphi=\frac{M_{S} \cdot l}{G \cdot I} \\ \end{aligned}

Do tego potrzebujemy momenty bezwładności na skręcanie

\begin{aligned} &I=\frac{\pi \cdot d^{4}}{32} \\ &I_{B C}=\frac{\pi \cdot 0,06^{4}}{32}=1,27 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{4} \\ &I_{A B}=\frac{\pi \cdot 0,12^{4}}{32}=2,04 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{4} \\ \end{aligned}

Przykładowo: kąt skręcenia przekroju C względem przekroju B obliczymy w taki sposób:

\[ \varphi_{B C}=\frac{M_{S_{B C}} \cdot l_{B C}}{G \cdot I_{B C}} \]

Jednak zacznijmy od utwierdzenia w punkcie A, gdzie wiemy, że kąt obrotu jest równy 0

\[ \varphi_{A}=0 \]

Następnie kąt obrotu przekroju B względem A:

\[ \varphi_{B}=\varphi_{A}+\varphi_{A B} \]

oraz całkowity kąt skręcania, czyli suma kąta skręcenia w B oraz skręcenia przekroju C względem B

\[ \varphi_{C}=\varphi_{B}+\varphi_{B C} \]

Obliczenia

\begin{aligned} &\varphi_{A B}=\frac{10 \cdot 10^{3} \cdot 3}{80 \cdot 10^{9} \cdot 2,04 \cdot 10^{-5}}=0,0183 \text{ rad} \\ &\varphi_{B C}=\frac{-20 \cdot 10^{3} \cdot 2}{80 \cdot 10^{9} \cdot 1,27 \cdot 10^{-6}}=-0,3937\text{ rad} \\ &\varphi_{B}=0+0,0183=0,0183 \text{ rad} \\ &\varphi_{C}=0,0183-0,3937=-0,3754 \text{ rad} \end{aligned}

Po wykonaniu wszystkich obliczeń możemy narysować wykresy momentów skręcających, naprężeń stycznych i kąta skręcenia

Skręcanie

Wytrzymałość materiałów - Skręcanie - Przykład 1

Przykład 1