W zrozumieniu poniższego pomoże wideo-kurs z Przykładu 1.

Wskaźniki wytrzymałości i momenty bezwładności podstawowych figur płaskich |KLIK|.

Momenty skręcające i momenty bezwładności (dla ułatwienia obliczeń sprawdzimy stosunek momentów bezwładności względem siebie).

\begin{aligned}\\ &M_{AB}=-M_A\\ &M_{BC}=-M_A+20\\ \\ &I_{AB}=\frac{\pi \cdot D^4}{32}\\ &I_{BC}=\frac{\pi \cdot (D^4-d^4)}{32}=0,06711D^4\\ &\frac{I_{AB}}{I_{BC}}=1,4639\ \Rightarrow I_{AB}=1,4629I_{BC}\\ \end{aligned}

Warunek geometryczny - całkowity kąt skręcenia jest równy 0: \(\varphi_c =0\)

\begin{aligned}\\ &\varphi=\frac{M_S\cdot l}{G\cdot I}\\ \\ &\varphi_c=\varphi_{AB}+\varphi_{BC}=0\\ &\varphi_c=\frac{-M_A\cdot 2}{G\cdot 1,4629I_{BC}}+\frac{(-M_A+20)\cdot 3}{G\cdot I_{BC}}=0\ |\cdot GI_{BC}\\ &-1,367M_A-3M_A=-60\\ &M_A=13,74\ kNm\\ \end{aligned}

Wymiarowanie, warunek wytrzymałościowy: \(\tau_{max}\le k_s\)

\begin{aligned}\\ &M_{AB}=-13,74\ kNm\\ &M_{BC}=-13,74+20=6,26\ kNm\\ \\ &W_{AB}=\frac{\pi D^3}{16}\\ &W_{BC}=\frac{\pi \cdot (D^4-d^4)}{16D}=\frac{175\pi D^3}{4096}\\ \end{aligned}

Na przedziale AB jest większy moment skręcający, ale wskaźnik wytrzymałości na skręcanie również jest większy niż na przedziale BC, wobec czego bezpieczniej będzie sprawdzić obydwa przedziały

\begin{aligned}\\ &\tau_{AB}=\frac{-13,74\cdot 10^3\cdot}{\frac{\pi D^3}{16}}=-\frac{69977,25}{D^3}\\ &\tau_{BC}=\frac{6,36\cdot 10^3\cdot}{\frac{\pi D^3}{16}}=\frac{47383,72}{D^3}\\ &|\tau_{AB}|\ge |\tau_{BC}|\\ \end{aligned}

Warunek wytrzymałości

\begin{aligned}\\ &\frac{69977,25}{D^3}\ge \ 70\cdot 10^6\\ &d\ge \sqrt[3]{\frac{69977,25}{70\cdot 10^6}}\\ &d\ge 0,0999\ m\\ &d=0,10\ m=10\ cm\\ \end{aligned}

Naprężenia styczne

\begin{aligned}\\ &\tau =\frac{M_S}{W_S}\\ \\ &W_{S_{AB}}=\frac{\pi \cdot 0,1^3}{16}=1,96\cdot 10^{-4}\ m^3\\ &W_{S_{BC}}=\frac{\pi \cdot (0,1^4-0,075^4)}{16\cdot 0,1}=1,34\cdot 10^{-4}\ m^3\\ \\ &\tau_{AB}=\frac{M_{AB}}{W_{S_{AB}}}=\frac{-13,74\cdot 10^3}{1,96\cdot 10^{-4}}=-70,1\ MPa\\ &\tau_{BC}=\frac{6,26\cdot 10^3}{1,34\cdot 10^{-4}}=46,72\ MPa\\ \end{aligned}

Kąt skręcenia przekroju B

\begin{aligned}\\ &\varphi_B=\varphi_{AB}\\ &\varphi=\frac{M_S\cdot l}{G\cdot I}\\ \\ &I_{AB}=\frac{\pi \cdot 0,1^4}{32}=9,82\cdot 10^{-6}\\ \end{aligned}

Zależność między modułem Kirchoffa i modułem Younga:

\begin{aligned}\\ &G=\frac{E}{2(1+\nu)}=82,69\ GPa\\ \\ &\varphi_B=\frac{-13,74\cdot 10^3\cdot 2}{82,69\cdot 10^9\cdot 9,82\cdot 10^{-6}}=-0,03384\ rad=-1,939\ [^o]\\ \end{aligned}

Wykresy

Skręcanie

Wytrzymałość materiałów - Skręcanie - Przykład 3

Przykład 3