Obliczamy reakcje podporowe

\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{x}=0 \\ & \mathrm{H}_{\mathrm{A}}=15 \mathrm{kN} \\ & \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{A}}=0 \\ & 10 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5-15 \cdot \mathrm{y}_{\mathrm{P}}-\mathrm{V}_{\mathrm{B}} \cdot 10=0 \end{aligned} Obliczenie współrzędnej yp przyłożenia siły
Aby to zrobić musimy wyznaczyć równanie łuku parabolicznego (równanie paraboli). Pokażemy dwie metody.

Metoda l

Znamy 3 punkty które należą do łuku - podpora A, B oraz wierzchołek - podstawiamy je do równania paraboli, rozwiązujemy układ równań i wyznaczamy parametry funkcji kwadratowej.
Równanie paraboli \(\mathrm{y}=\mathrm{a} \cdot \mathrm{x}^2+\mathrm{b} \cdot \mathrm{x}+\mathrm{c}\)
Współrzędne punktów:
\( \mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(10,0), \mathrm{W}(5,3) \)

Wstawiamy do równania
punkt A: \(0=\mathrm{a} \cdot 0^2+\mathrm{b} \cdot 0+\mathrm{c}\) c=0
punkt B :
\begin{aligned} & 0=\mathrm{a} \cdot 10^2+\mathrm{b} \cdot 10+\mathrm{c} \\ & \mathrm{~b}=-10 \mathrm{a} \end{aligned} punkt C:
\( 3=\mathrm{a} \cdot 5^2+\mathrm{b} \cdot 5+\mathrm{c}\)
\begin{aligned} & 3=a \cdot 5^2+(-10 a) \cdot 5 \\ & 3=-25 a \\ & a=\frac{-3}{25}=-0.12 \end{aligned} Wobec tego \( \quad b=-10 \mathrm{a}=1.2 \)

Metoda II

Skorzystanie z równania osi łuku parabolicznego, przy początku układu współrzędnych na podporze A: \( y=\frac{4 f}{L^2} \cdot(L-x) \cdot x\), gdzie:
\(f-\) wysokość łuku,
\(L-\) rozpiętość między podporami.
Mamy \(\mathrm{f}=3, \mathrm{~L}=10\), wobec tego \(\mathrm{y}=\frac{4 \cdot 3}{10^2} \cdot(10-\mathrm{x}) \cdot \mathrm{x}=0.12 \cdot(10-\mathrm{x}) \cdot \mathrm{x}=1.2 \mathrm{x}-0.12 \mathrm{x}^2\)

Znając równanie osi łuku parabolicznego możemy obliczyć pionową współrzędną przyłożenia siły.
dla \(\mathrm{x}=8 \mathrm{~m} \quad \mathrm{y}_{\mathrm{P}}=-0.12 \mathrm{x}^2+1.2 \mathrm{x}=1.92 \mathrm{~m}\)
Wracamy do równań równowagi statycznej
\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{A}}=0 \\ & 10 \cdot 5 \cdot 2.5-15 \cdot \mathrm{y}_{\mathrm{P}}-\mathrm{V}_{\mathrm{B}} \cdot 10=0 \\ & 96.2-10 \cdot \mathrm{~V}_{\mathrm{B}}=0 \\ & \quad \mathrm{~V}_{\mathrm{B}}=9.62 \mathrm{kN} \\ & \Sigma \mathrm{y}=0 \\ & \mathrm{~V}_{\mathrm{A}}-10 \cdot 5+\mathrm{V}_{\mathrm{B}}=0 \\ & \quad \mathrm{~V}_{\mathrm{A}}=40.38 \mathrm{kN} \end{aligned} sprawdzenie:
\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{W}}=0 \\ & \mathrm{v}_{\mathrm{A}} \cdot 5-\mathrm{H}_{\mathrm{A}} \cdot 3-10 \cdot 5 \cdot 2.5+15 \cdot\left(3-\mathrm{y}_{\mathrm{P}}\right)-\mathrm{v}_{\mathrm{B}} \cdot 5=0 \\ & 0=0 \end{aligned}

Obliczenie sił wewnętrznych
Przedział I \(0 \leq \mathrm{x} \leq 5\)

Dla łuków parabolicznych układ współrzędnych przyjmuje się inaczej niż dla łuków kołowych, tak jak zaznaczono na rysunku poniżej. Przy analizie od prawej strony łuku, układ będzie przyjmowany z drugiej strony.

Robimy przekrój myślowy, puszczamy styczną do łuku przechodzącą przez ten punkt w którym zrobiliśmy przekrój. Ta styczna wyznacza kierunek normalny w tym przekroju myślowym. Prostopadle do kierunku normalnego jest kierunek tnący, Musimy zrzutować siły działające na ten przekrój od lewej strony na kierunek normalny i tnący.

Powtórka z matematyki - styczna do łuku jest nachylona do osi x pod kątem \( \alpha \), którego tangens
\(\operatorname{tg} \alpha=\frac{\partial y}{\partial x}\)
W naszym przykladzie
\( \operatorname{tg} \alpha=\frac{\left(-0.12 \mathrm{x}^2+1.2 \mathrm{x}\right)}{\mathrm{dx}}=-0.24 \cdot \mathrm{x}+1.2 \)
Z trygonometrii mamy zależności które pozwolą nam wyznaczyć sinus i cosinus tego kąta
\( \sin \alpha=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}} \quad, \quad \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}} \)

Rozpisujemy funkcje sił wewnętrznych

\begin{aligned} & \mathrm{N}(\mathrm{x})=-\mathrm{H}_{\mathrm{A}} \cdot \cos \alpha-\mathrm{V}_{\mathrm{A}} \cdot \sin \alpha+10 \cdot \mathrm{x} \cdot \sin \alpha=-40.38 \cdot \sin \alpha-15 \cdot \cos \alpha+10 \cdot \sin \alpha \cdot x \\ & \mathrm{Q}(\mathrm{x})=-\mathrm{H}_{\mathrm{A}} \cdot \sin \alpha+\mathrm{V}_{\mathrm{A}} \cdot \cos \alpha-10 \cdot x \cdot \cos \alpha=40.38 \cdot \cos \alpha-15 \cdot \sin \alpha-10 \cdot \cos \alpha \cdot x \\ & \mathrm{M}(\mathrm{x})=\mathrm{V}_{\mathrm{A}} \cdot \mathrm{x}-\mathrm{H}_{\mathrm{A}} \cdot \mathrm{y}-10 \cdot \mathrm{x} \cdot 0.5 \cdot \mathrm{x} \\ & \mathrm{M}(\mathrm{x})=40.38 \cdot \mathrm{x}-15 \cdot\left(1.2 \mathrm{x}-0.12 \mathrm{x}^2\right)-5 \cdot \mathrm{x}^2=22.38 \cdot \mathrm{x}-3.2 \cdot \mathrm{x}^2 \end{aligned} Wyniki dla x co 1m zestawiono poniżej w tabeli
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathrm{x}[\mathrm{~m}] & \mathrm{y}[\mathrm{~m}] & \operatorname{tg} \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\mathrm{x})[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\mathrm{x})[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\mathrm{x})[\mathrm{kNm}] \\ \hline 0 & 0 & 1.2 & 0.768 & 0.640 & -40.624 & 14.327 & 0.000 \\ \hline 1 & 1.08 & 0.96 & 0.693 & 0.721 & -31.860 & 11.528 & 19.180 \\ \hline 2 & 1.92 & 0.72 & 0.584 & 0.812 & -24.081 & 7.774 & 31.960 \\ \hline 3 & 2.52 & 0.48 & 0.433 & 0.902 & -18.015 & 2.867 & 38.340 \\ \hline 4 & 2.88 & 0.24 & 0.233 & 0.972 & -14.674 & -3.131 & 38.320 \\ \hline 5 & 3 & 0 & 0.000 & 1.000 & -15.000 & -9.620 & 31.900 \\ \hline \end{array}

Przedział II \(0 \leq \mathrm{x} \leq 2\)

Układ współrzędnych przyjmujemy z drugiej strony.

Robimy przekrój myślowy, puszczamy styczną do łuku przechodzącą przez ten punkt w którym zrobiliśmy przekrój. Ta styczna wyznacza kierunek normalny w tym przekroju myślowym. Prostopadle do kierunku normalnego jest kierunek tnący, Musimy zrzutować siłę działającą na ten przekrój od prawej strony na kierunek normalny i tnący.

Rozpisujemy funkcje sił wewnętrznych

\begin{aligned} & \mathrm{N}(\mathrm{x})=-\mathrm{V}_{\mathrm{B}} \cdot \sin \alpha=-9.62 \cdot \sin \alpha \\ & \mathrm{Q}(\mathrm{x})=-\mathrm{V}_{\mathrm{B}} \cdot \cos \alpha=-9.62 \cdot \cos \alpha \\ & \mathrm{M}(\mathrm{x})=\mathrm{V}_{\mathrm{B}} \cdot \mathrm{x}=9.62 \cdot \mathrm{x} \end{aligned} Wyniki dla x co 1m zestawiono poniżej w tabeli
&\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x [m] & y [m] & \operatorname{tg} \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha & N(x)[k N] & T(x)[k N] & M(x)[k N m] \\ \hline 0 & 0 & 1.2 & 0.768 & 0.640 & -7.390 & -6.159 & 0.000 \\ \hline 1 & 1.08 & 0.96 & 0.693 & 0.721 & -6.662 & -6.940 & 9.620 \\ \hline 2 & 1.92 & 0.72 & 0.584 & 0.812 & -5.621 & -7.807 & 19.240 \\ \hline \end{array}

Przedział III \(2 \leq \mathrm{x} \leq 5\)

Rozpisujemy funkcje sił wewnętrznych

\begin{aligned} & \mathrm{N}(\mathrm{x})=-\mathrm{V}_{\mathrm{B}} \cdot \sin \alpha-15 \cdot \cos \alpha=-9.62 \cdot \sin \alpha-15 \cdot \cos \alpha \\ & \mathrm{Q}(\mathrm{x})=-\mathrm{V}_{\mathrm{B}} \cdot \cos \alpha+15 \cdot \sin \alpha=15 \cdot \sin \alpha+-9.62 \cdot \cos \alpha \\ & \mathrm{M}(\mathrm{x})=\mathrm{V}_{\mathrm{B}} \cdot \mathrm{x}-15 \cdot(\mathrm{y}-1.92) \\ & \mathrm{M}(\mathrm{x})=9.62 \cdot \mathrm{x}-15 \cdot\left(1.2 \cdot x+-0.12 \cdot \mathrm{x}^2-1.92\right)=-8.38 \cdot x+1.8 \cdot \mathrm{x}^2+28.8 \end{aligned} Wyniki dla x co 1m zestawiono poniżej w tabeli
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathrm{x [m]} & \mathrm{y [m]} & \operatorname{tg} \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{~N}(\mathrm{x})[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\mathrm{x})[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\mathrm{x})[\mathrm{kNm}] \\ \hline 2 & 1.92 & 0.72 & 0.584 & 0.812 & -17.794 & 0.958 & 19.240 \\ \hline 3 & 2.52 & 0.48 & 0.433 & 0.902 & -17.686 & -2.182 & 19.860 \\ \hline 4 & 2.88 & 0.24 & 0.233 & 0.972 & -16.831 & -5.854 & 24.080 \\ \hline 5 & 3 & 0 & 0.000 & 1.000 & -15.000 & -9.620 & 31.900 \\ \hline \end{array}

Wykresy sił wewnętrznych

Siły wewnętrzne - łuki

Wytrzymałość materiałów - Siły wewnętrzne - łuki - Przykład 2

Przykład 2