Obliczenie współrzędnych x i y w funkcji kąta alfa

Na początku uzależniamy zmienne x i y od kąta alfa w celu przygotowania do dalszych obliczeń.

\begin{aligned} &\frac{y}{8}=sin\alpha \hspace{3cm}y=8sin\alpha\\ &\frac{x}{8}=cos\alpha \hspace{3cm}x=8cos\alpha\\ \end{aligned} Szukamy pionowej współrzędnej przyłożenia siły skupionej.
\begin{aligned} &c=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3\\ \end{aligned}

Obliczenie reakcji podporowych

Rozwiązujemy równania równowagi sił i momentów, aby wyznaczyć reakcje w podporach.

\begin{aligned} &\sum{x}=0\\ &\hspace{3cm} H_A=30\ kN\\ &\sum{M_A}=0\\ &\hspace{3cm} 30\cdot 4\sqrt3+6\cdot 8\cdot 12-V_B\cdot 16=0\\ &\hspace{3cm}V_B=49 \ kN\\ &\sum{y}=0\\ &\hspace{3cm} V_A-6\cdot 8+49=0\\ &\hspace{3cm} V_A=-1 \ kN\\ \end{aligned}

Siły wewnętrzne w łuku
Przedział I \(\alpha \in (0;90)\)

Obliczamy funkcje sił wewnętrznych dla kąta alfa w przedziale od 0 do 90 stopni. Przekrój jak na rysunku powyżej, widok z prawej strony.

\begin{aligned} &N(\alpha)=-49cos\alpha+6\cdot(8-x)\cdot cos\alpha=\\ &=-49cos\alpha+48cos\alpha-6cos\alpha\cdot 8cos\alpha=-cos\alpha-48cos^2\alpha\\ &T(\alpha)=-49sin\alpha+6\cdot(8-x)\cdot sin\alpha=\\ &=-49sin\alpha+48sin\alpha-6sin\alpha\cdot 8cos\alpha=-sin\alpha-48sin\alpha\cdot cos\alpha\\ &M(\alpha)=49\cdot (8-x)-\frac{1}{2}\cdot 6\cdot (8-x)^2=\\ &=392-49x-3(64-16x+x^2)=\\ &=392-392cos\alpha-192+384cos\alpha-192cos^2\alpha=200+8cos\alpha-192cos^2\alpha\\ \end{aligned} Zestawienie sił w przedziale dla kąta alfa co 15 stopni.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \alpha & \mathbf{N [kN]} & \mathbf{T [kN]} & \mathbf{M [kN]} \\ \hline 0^{\circ} & -49 & 0 & 0 \\ \hline 15^{\circ} & -45,75 & -12,25 & 13,13 \\ \hline 30^{\circ} & -36,86 & -21,28 & 49,07 \\ \hline 45^{\circ} & -24,7 & -24,7 & 98,34 \\ \hline 60^{\circ} & -12,5 & -21,65 & 148 \\ \hline 75^{\circ} & -3,74 & -12,96 & 185,06 \\ \hline 90^{\circ} & 0 & -1 & 200 \\ \hline \end{array}

Siły wewnętrzne - Przedział II \(\alpha \in (0,60)\)

Obliczamy siły wewnętrzne w przedziale od 0 do 60 stopni.

\begin{aligned} &N(\alpha)=1\cdot cos\alpha+30\cdot sin\alpha\\ &T(\alpha)=-1\cdot sin\alpha+30\cdot cos\alpha\\ &M(\alpha)=-1\cdot (8-x)+30\cdot y=-8+8cos\alpha+30\cdot 8cos\alpha=-8+8cos\alpha+240sin\alpha\\ \end{aligned} Zestawienie sił w przedziale dla kąta alfa co 15 stopni.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \alpha & \mathbf{N [kN]} & \mathbf{T [kN]} & \mathbf{M [kNm]} \\ \hline 0^{\circ} & 1 & 30 & 0 \\ \hline 15^{\circ} & 8,73 & 28,72 & 61,84 \\ \hline 30^{\circ} & 15,87 & 25,48 & 118,82 \\ \hline 45^{\circ} & 21,92 & 20,51 & 167,36 \\ \hline 60^{\circ} & 26,48 & 14,13 & 203,84 \\ \hline \end{array}

Siły wewnętrzne - Przedział III \(\alpha \in (60; 90)\)

Obliczamy siły wewnętrzne w przedziale od 60 do 90 stopni.

Przy zapisywaniu funkcji momentu została wykorzystana uporządkowana funkcja z poprzedniego przedziału i dopisano tylko funkcje momentu którą powoduje pozioma siła 30, która się pojawiła w tym przedziale.
\begin{aligned} &N(\alpha)=cos\alpha\\ &T(\alpha)=-sin\alpha\\ &M(\alpha)=-8+8cos\alpha+240sin\alpha-30\cdot (y-4\sqrt 3)=\\ &=-8+8cos\alpha+240sin\alpha-240sin\alpha+207,85=199,85+8cos\alpha\\ \end{aligned} Zestawienie sił w przedziale dla kąta alfa co 15 stopni.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \alpha & \mathbf{N [kN]} & \mathbf{T [kN]} & \mathbf{M [kNm]} \\ \hline 60^{\circ} & 0.5 & -0.87 & 205,85 \\ \hline 75^{\circ} & 0.26 & -0,97 & 201,92 \\ \hline 90^{\circ} & 0 & -1 & 200 \\ \hline \end{array}

Wykresy sił wewnętrznych

Na koniec przedstawiamy wykresy sił wewnętrznych tym razem nie bezpośrednio na łuku, ale rozciągnięte w poziomie.

Siły wewnętrzne - łuki

Wytrzymałość materiałów - Siły wewnętrzne - łuki - Przykład 1

Przykład 1