Podejście statyczne

Rozwiązanie.

Uwolniamy układ od więzów i zapisujemy równania równowagi:

\[ \begin{cases} \sum X = 0 \Rightarrow H = 0 \\ \sum M_1 = 0 \Rightarrow N_2 \cdot a + N_3 \cdot 3a - P \cdot 2a = 0 \\ \sum M_3 = 0 \Rightarrow N_1 \cdot 3a + N_2 \cdot 2a - P \cdot a = 0 \end{cases} \]

Układ jest jednoznacznie statycznie niewyznaczalny, zatem warunki stanu granicznego muszą dotyczyć dwóch prętów. Zapisujemy zatem wszystkie możliwe kombinacje.

1)

\( N_1 = R_{pl} \cdot A \quad,\quad N_2 = R_{pl} \cdot 2A \)

Wstawiając do równań równowagi, otrzymujemy:

\( P = 7R_{pl} \cdot A \quad,\quad N_3 = 4R_{pl} \cdot A > R_{pl} \cdot 3A \)

Zatem stan jest statycznie niedopuszczalny.

2)

\( N_1 = R_{pl} \cdot A \quad,\quad N_3 = R_{pl} \cdot 3A \)

i z równań równowagi: \( P = 5R_{pl} \cdot A \quad,\quad N_2 = R_{pl} \cdot A < R_{pl} \cdot 2A \)

Stan statycznie dopuszczalny.

3)

\( N_2 = R_{pl} \cdot 2A \quad,\quad N_3 = R_{pl} \cdot 3A \)

i z równań równowagi: \( P = 5{,}5R_{pl} \cdot A \quad,\quad N_1 = 0{,}5R_{pl} \cdot A < R_{pl} \cdot A \)

Stan statycznie dopuszczalny.

4)

\( N_1 = R_{pl} \cdot A \quad,\quad N_3 = R_{pl} \cdot 3A \)

i z równań równowagi: \( P = 7R_{pl} \cdot A \quad,\quad N_2 = 5R_{pl} \cdot A > R_{pl} \cdot 2A \)

Stan statycznie niedopuszczalny.

\( P_{st} = 5{,}5 \, R_{pl} A \)

\( P_{st} = \max(P_2, P_3) = \max(5 \, R_{pl} A; \, 5{,}5 \, R_{pl} A) \)

Podejście kinematyczne

Zakładamy materiał idealnie sztywno-plastyczny.

Układ osiąga stan graniczny, czyli przechodzi z geometrycznie niezmiennego w geometrycznie zmienny – mechanizm, gdy uplastycznią się dwa pręty.

Rozpatrujemy zatem wszystkie kombinacje osiągnięcia stanu granicznego i związane z nimi kinematyczne mechanizmy zniszczenia.

1)

\( N_1 = R_{pl} \cdot A \quad \text{oraz} \quad N_2 = R_{pl} \cdot 2A \)

i zapisujemy równanie mocy:

\( P \cdot \frac{\dot{w}}{3} = R_{pl} \cdot A \cdot \dot{w} + R_{pl} \cdot 2A \cdot \frac{2}{3} \dot{w} \)

\( P = 7 R_{pl} \cdot A \)

2)

\( N_1 = R_{pl} \cdot A \quad \text{oraz} \quad N_3 = R_{pl} \cdot 3A \quad \text{kinematycznie niedopuszczalne} \)

3)

\( N_2 = R_{pl} \cdot 2A \quad ; \quad N_3 = R_{pl} \cdot 3A \)

\( P \cdot \frac{2}{3} \dot{w} = R_{pl} \cdot 2A \cdot \frac{\dot{w}}{3} + R_{pl} \cdot 3A \cdot \dot{w} \Rightarrow P = 5{,}5 \, R_{pl} \cdot A \)

4)

\( N_2 = -R_{pl} \cdot A \quad ; \quad N_3 = R_{pl} \cdot 3A \)

\( P \cdot \frac{\dot{w}}{2} = R_{pl} \cdot 3A \cdot \dot{w} + R_{pl} \cdot A \cdot \frac{\dot{w}}{2} \Rightarrow P = 7 \, R_{pl} \cdot A \)

\( P_{kin} = \min(P_1, P_3, P_u) \)

\( P_{kin} = 5{,}5 \, R_{pl} \cdot A = P_{st} = P_u \)

Rozwiązanie stanu sprężystego

Uwalniamy od więzów i zapisujemy równania równowagi:

\[ \begin{cases} \sum X = 0 \Rightarrow H = 0 \\ \sum M_1 = 0 \Rightarrow N_2 \cdot a + N_3 \cdot 3a - P \cdot 2a = 0 \quad (1)\\ \sum M_3 = 0 \Rightarrow N_1 \cdot 3a + N_2 \cdot 2a - P \cdot a = 0 \quad (2) \end{cases} \]

Układ jednoznacznie statycznie niewyznaczalny
Rozwiązanie układu – sposób 1
Warunek geometryczny:

\[ \frac{w_3 - w_2}{3a} = \frac{w_3 - w_1}{2a} \Rightarrow w_3 - 3w_2 - w_1 \Rightarrow w_3 - 3w_2 - w_1 = 0 \tag{*} \]

Związki fizyczne:

\[ w_1 = \Delta l_1 = \frac{N_1 \cdot 2a}{EA}, \quad w_3 = \Delta l_3 = \frac{N_3 \cdot 2a}{E \cdot 3A}, \quad w_2 = \Delta l_2 = \frac{N_2 \cdot a}{E \cdot 2A} \]

Podstawiając do \((*)\) otrzymujemy:

\[ \frac{2}{3} N_3 - 3 N_2 - 2 N_1 = 0 \tag{3} \]

Rozwiązując układ (1)(2)(3) otrzymujemy:

\[ N_1 = \frac{7}{53}P, \quad N_2 = \frac{16}{53}P, \quad N_3 = \frac{30}{53}P \]

Sprawdzenie:
\[ N_1 + N_2 + N_3 = \left(\frac{7}{53} + \frac{16}{53} + \frac{30}{53}\right)P = P \]

Rozwiązanie stanu sprężystego sposób 2 (metoda sił)

Układ zastępczy statycznie wyznaczalny

Warunek geometryczny:

\[ \Delta_1 = \delta_{11} \cdot X_1 + \Delta_{1P} = 0 \]

\[ \delta_{11} = \sum_{i=1}^{3} \int \frac{N_i \cdot N_i}{EA_i} dx_i = \frac{1}{EA} \cdot 1 \cdot 2a \cdot 1 + \frac{1}{E \cdot 2a} \left( -\frac{3}{2} \right) \cdot 2a \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) + \frac{1}{E \cdot 3A} \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \] \[ \delta_{11} = \frac{53}{12} \cdot \frac{a}{EA} \]

\[ \Delta_{1P} = \sum_{i=1}^{2} \int \frac{N_i \cdot N_i}{EA_i} dx_i = \frac{1}{E \cdot 2A} \cdot P \cdot 2a \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{E \cdot 3A} \cdot P \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} = -\frac{7}{12} \cdot \frac{Pa}{EA} \] \[ \frac{53}{12} \cdot \frac{a}{EA} \cdot X_1 - \frac{7}{12} \cdot \frac{Pa}{EA} = 0 \quad \Rightarrow \quad X_1 = \frac{7}{53}P \quad \Rightarrow \quad N_1 = \frac{7}{53}P \] \[ N_2 = \frac{P}{2} \left(1 - \frac{21}{53} \right) = \frac{16}{53}P \] \[ N_3 = \frac{P}{2} \left(1 + \frac{7}{53} \right) = \frac{30}{53}P \]

Sprawdzenie:
\[ N_1 + N_2 + N_3 = \left(\frac{7}{53} + \frac{16}{53} + \frac{30}{53}\right)P = P \]

Wyznaczenie nośności sprężystej

Nośność zostanie wyczerpana, jeżeli w którymkolwiek pręcie naprężenie osiągnie wartość \( R_{pl} \).

Zatem sprawdzamy:

\[ \sigma_x^{(1)} = \frac{N_1}{A} = \frac{7P}{53A} \quad \sigma_x^{(2)} = \frac{N_2}{2A} = \frac{8P}{53A} \quad \sigma_x^{(3)} = \frac{N_3}{3A} = \frac{10P}{53A} = R_{pl} \]

i otrzymujemy nośność sprężystą: \[ P = 5{,}3 \cdot R_{pl} \cdot A = P_s \]

Nośność graniczna wynosi: \[ P_n = P_{st} = P_{kin} = 5{,}5 \cdot R_{pl} \cdot A \]

Współczynnik rezerwy: \[ m = \frac{P_n}{P_s} = \frac{5{,}5}{5{,}3} = 1{,}04 \]

Przechodzimy na wartości liczbowe

\[ P_s = 5{,}3 \cdot 20 \cdot 4 = 424 \, \text{kN} \quad P_n = 5{,}5 \cdot 20 \cdot 4 = 440 \, \text{kN} \]

Rozciąganie i ściskanie osiowe

Wytrzymałość materiałów - Rozciąganie i ściskanie osiowe - Przykład 14

Przykład 14