Charakterystyki geometryczne, centralne momenty bezwładności

\begin{aligned} &A_1 =212,85 cm^2\\ &A_2 =7,6 cm^2\\ &A_3 =21,285 cm^2\\ &A=A_1 +A_2 +A_3 =226,53 cm^2\\ &y_1 =16,13 cm\\ &y_2 =10,7 cm\\ &y_3 =29,03 cm\\ &z_1 =3,3 cm\\ &z_2 =0 cm\\ &z_3 =8,25 cm\\ &z_c=\frac{z_1 \cdot A_1- z_2 \cdot A_2+z_3 \cdot A_3}{A_1 -A_2 +A_3}=3,88 cm\\ &y_c=\frac{y_1 \cdot A_1- y_2 \cdot A_2+y_3 \cdot A_3}{A_1 -A_2 +A_3}=17,52 cm\\ &I_{yc}=\frac{32,25\cdot 6,6^3}{12}+A_1\cdot (z_1-z_c)^2-(0,11\cdot 2,2^4+A_2\cdot (z_2-z_c)^2)+\frac{6,45\cdot 3,3^3}{12}+A_3\cdot (z_3-z_c)^2=1153 cm^4\\ &I_{zc}=\frac{6,6\cdot 32,25^3}{12}+A_1\cdot (y_1-y_c)^2-(\frac{pi \cdot 2,2^4}{8}+A_2\cdot (y_2-y_c)^2)+\frac{3,3\cdot 6,45^3}{12}+A_3\cdot (y_3-y_c)^2=21390 cm^4\\ &J_{yczc}=0+A_1\cdot (y_1-y_c)(z_1-z_c)-(0+A_2\cdot (y_2-y_c)(z_2-z_c))+0+A_3\cdot (y_3-y_c)(z_3-z_c)=1041 cm^4\\ \end{aligned}

Główne centralne momenty bezwładności

\begin{aligned} &I_{1,2}=\frac{I_{yc}+I_{zc}}{2}pm \sqrt{(\frac{I_{yc}-I_{zc}}{2})^2+I_{yczc}^2}\\ &I_1=21440 cm^4\\ &I_2=1099,6 cm^4\\ &tan\varphi_1=\frac{I_{yczc}}{I_{zc}-I_1}=-19,49\\ &\varphi_1=arctan(-19,49)=-87,06^o\\ &tan\varphi_2=\frac{I_{yczc}}{I_{zc}-I_2}=0,05\\ &\varphi_1=arctan(0,05)=2,94^o\\ \end{aligned}

sprawdzenie:

\begin{aligned} &I_1+I_2=I_{yc}+I_{zc}\\ &L=P\\ \end{aligned}

Równanie z macierzy przejścia

\begin{aligned} &y_i=cos\varphi_2\cdot y_{ci}+sin\varphi_2\cdot z_{ci}\\ &z_i=cos\varphi_1\cdot y_{ci}+sin\varphi_1\cdot z_{ci}\\ \end{aligned}

Współrzędne w układzie centralnym

\begin{aligned} &y_{c1}=-17,52 cm, z_{c1}=-3,88 cm\\ &y_{c2}=14,73 cm, z_{c2}=-3,88 cm\\ &y_{c3}=14,73 cm, z_{c3}=6,02 cm\\ &y_{c4}=8,28 cm, z_{c4}=6,02 cm\\ &y_{c5}=-17,52 cm, z_{c5}=2,72 cm\\ \end{aligned}

Współrzędne w układzie głównym centralnym

\begin{aligned} &y_1=cos\varphi_2\cdot y_{c1}+sin\varphi_2\cdot z_{c1}=-17,7 cm\\ &z_1=cos\varphi_1\cdot y_{c1}+sin\varphi_1\cdot z_{c1}=2,98 cm\\ \\ &y_2=cos\varphi_2\cdot y_{c2}+sin\varphi_2\cdot z_{c2}=14,51 cm\\ &z_2=cos\varphi_1\cdot y_{c2}+sin\varphi_1\cdot z_{c2}=4,63 cm\\ \\ &y_3=cos\varphi_2\cdot y_{c3}+sin\varphi_2\cdot z_{c3}=15,02 cm\\ &z_3=cos\varphi_1\cdot y_{c3}+sin\varphi_1\cdot z_{c3}=-5,26 cm\\ \\ &y_4=cos\varphi_2\cdot y_{c4}+sin\varphi_2\cdot z_{c4}=8,58 cm\\ &z_4=cos\varphi_1\cdot y_{c4}+sin\varphi_1\cdot z_{c4}=-5,59 cm\\ \\ &y_5=cos\varphi_2\cdot y_{c5}+sin\varphi_2\cdot z_{c5}=-17,36 cm\\ &z_5=cos\varphi_1\cdot y_{c5}+sin\varphi_1\cdot z_{c5}=-3,61 cm\\ \end{aligned}

Wyznaczenie punktów krzywej rdzeniowej

Będziemy korzystać z równania prostej przez dwa punkty:

\(z-z_1=\frac{z_2-z_1}{y_2-y_1}\cdot (y-y_1)\)

oś obojętna 1-2

\begin{aligned} &i_y=\frac{I_2}{A}=4,854 cm^2\\ &i_z=\frac{I_1}{A}=94,66 cm^2\\ \\ &z=0,05y+3,89\\ &a_y=\frac{3,89}{-0,05}=-75,72 cm\\ &a_z=3,89 cm\\ &y=-\frac{i_z}{a_y}=1,25 cm\\ &z=-\frac{i_y}{a_z}=-1,25 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna 2-3

\begin{aligned} &z=-19,48y+287,36\\ &a_y=\frac{287,48}{19,48}=14,75 cm\\ &a_z=287,48 cm\\ &y=-\frac{i_z}{a_y}=-6,42 cm\\ &z=-\frac{i_y}{a_z}=-0,02 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna 3-4

\begin{aligned} &z=0,05y-6,03\\ &a_y=\frac{-6,03}{-0,05}=117,49 cm\\ &a_z=-6,03 cm\\ &y=-\frac{i_z}{a_y}=-0,81 cm\\ &z=-\frac{i_y}{a_z}=0,81 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna 4-5

\begin{aligned} &z=-0,08y-4,94\\ &a_y=\frac{-4,94}{0,08}=-64,85 cm\\ &a_z=-4,94 cm\\ &y=-\frac{i_z}{a_y}=1,46 cm\\ &z=-\frac{i_y}{a_z}=0,98 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna 5-1

\begin{aligned} &z=-19,48y-341,79\\ &a_y=\frac{-341,93}{19,49}=-17,54 cm\\ &a_z=-341,93 cm\\ &y=-\frac{i_z}{a_y}=5,4 cm\\ &z=-\frac{i_y}{a_z}=0,01 cm\\ \end{aligned}

Mimośrodowe działanie siły normalnej

Wytrzymałość materiałów - Mimośrodowe działanie siły normalnej - Przykład 5

Przykład 5