Metoda Maxwella

Wprowadzenie do metod energetycznych

Kurs „Metody energetyczne - Przemieszczenia w układach statycznie wyznaczalnych" skupia się na metodach energetycznych, które wykorzystują zasady zachowania energii w systemach sprężystych do przewidywania zachowania materiałów pod obciążeniem.

Metoda Maxwella-Mohra - podejście uproszczone

(uwzględnienie tylko wpływu momentu gnącego)

Metoda Maxwella-Mohra jest kolejną ważną techniką energetyczną używaną do analizy przemieszczeń w konstrukcjach. Jest to metoda bardziej ogólna, która obejmuje zarówno obciążenia mechaniczne, jak i termiczne, geometryczne oraz podpory sprężyste. Wzór Maxwella-Mohra uwzględnia wpływ wszystkich możliwych oddziaływań na konstrukcję. W tej metodzie przemieszczenia od obciążeń mechanicznych oblicza się poprzez całkowanie iloczynów funkcji momentów zginających, sił tnących i sił normalnych dla stanów początkowych i jednostkowych.

W tym podstawowym kursie zajmiemy się tylko wpływem momentów na przemieszczenie od obciążeń mechanicznych. Ponadto chcemy tutaj pokazać podejście podstawowe, w którym będziemy wykonywać całkowanie analityczne funkcji momentów.

Wzór podstawowy metody

Zgodnie z metodą Maxwella-Mohra wyznaczenie przemieszczenia u, sprowadza się do obliczenia całki, pod znakiem której występuje moment gnący spowodowany rzeczywistym obciążeniem zewnętrznym (Mg), oraz moment gnący jaki wywołałaby jednostkowa siła fikcyjna P=1 odpowiadająca szukanemu przemieszczeniu (\(M_1\)).

\[ u=\int_{0}^{l} \frac{M_{g} \cdot M_{1}}{E I} dx \]

Całkowanie można przeprowadzić analitycznie lub graficznie. W poniższym przykładzie pokażemy obydwa podejścia.

Zobacz całkowanie graficzne - metoda Wereszczagina

Z tego kursu dowiesz się:

Metoda Maxwella-Mohra (całkowanie analityczne funkcji momentów):

jak wyznaczyć funkcje momentów gnących w przedziałach,
jak określić stan jednostkowy i wyznaczyć funkcje momentów,
jak przecałkować analitycznie iloczyny funkcji momentów na przedziałach,
jak obliczyć ugięcie i kąt obrotu belki w dowolnym punkcie.

Metoda Wereszczagina:

jak wyznaczyć wykresy momentów w stanie początkowym i jednostkowym,
jak przecałkować graficznie wykresy momentów,
jak obliczyć ugięcie i kąt obrotu belki w dowolnym punkcie.

Przykład 1

Treść

Oblicz przemieszczenie pionowe punktu D.

Uwzględnij wpływ momentów zginających.

Przykład 1 - metoda Maxwella-Mohra — *Rys. 1. Schemat belki - przykład 1*

Rozwiązanie

Rozbijamy belkę przegubową na belki proste, liczymy reakcje bierne i rysujemy wykresy sił wewnętrznych. Uwaga – reakcje można policzyć bez rozbijania na belki proste. Sprawdzanie ekstremum nie jest potrzebne do policzenia przemieszczenia.

*Rys. 2. Rozbicie belki przegubowej na belki proste*

Reakcje podporowe

I

\[ \begin{aligned} & \Sigma M_{B}=0 \\ & 10+2 V_{C}=0 \\ & V_{C}=-5 \text{ kN} \\ & \Sigma Y=0\\ & V_{B}+V_{C}=0 \\ & V_{B}=5 \text{ kN} \end{aligned} \]

II

\[ \begin{aligned} & \Sigma M_{A}=0 \\ & -M_{A}-6 \cdot 4 \cdot 2-4 V_{B}=0 \\ & M_{A}=-68 \text{ kNm} \\ & \Sigma Y=0 \\ & V_{A}-6 \cdot 4-V_{B}=0 \\ & V_{A}=29 \text{ kN} \end{aligned} \]

Funkcje momentów zginających - stan początkowy

\[ \begin{aligned} & \text{AB} \quad 0 < x < 4 \\ & M_1(x) = -68 + 29 \cdot x - 6 \cdot \frac{x^2}{2} \\ & \quad M_1(0) = -68 \text{ kNm} \\ & \quad M_1(4) = 0 \text{ kNm} \\ \\ & \text{BC} \quad 4 < x < 6 \\ & M_2(x) = -68 + 29 \cdot x - 6 \cdot 4 \cdot (x - 2) \\ & \quad M_2(4) = 0 \text{ kNm} \\ & \quad M_2(6) = 10 \text{ kNm} \\ \\ & \text{DC} \quad 0 < x < 2 \\ & M_3(x) = 10 \\ & \quad M_3(0) = 10 \text{ kNm} \\ & \quad M_3(2) = 10 \text{ kNm} \end{aligned} \]

Stan jednostkowy

W celu obliczenia pionowego przemieszczenia w punkcie D przykładamy pionową siłę jednostkową i rysujemy wykres momentów.

Reakcje podporowe - stan jednostkowy

I

\[ \begin{aligned} & \Sigma M_{B}=0 \\ & -1 \cdot 4+2 V_{C}=0 \\ & V_{C}=2\\ & \Sigma Y=0 \\ & V_{B}+V_{C}-1=0 \\ & V_{B}=-1 \end{aligned} \]

II

\[ \begin{aligned} & \Sigma M_{A}=0 \\ & -M_{A}-4 V_{B}=0 \\ & M_{A}=4 \text{ m} \\ & \Sigma Y=0 \\ & V_{A}-V_{B}=0 \\ & V_{A}=-1 \end{aligned} \]

Funkcje momentów zginających - stan jednostkowy

\[ \begin{aligned} & \textbf{AB:} \quad 0 < x < 4 \\ & m_1(x) = 4 - x \\ & m_1(0) = 4 \text{ m}, \quad m_1(4) = 0 \text{ m} \\[0.5em] & \textbf{BC:} \quad 4 < x < 6 \\ & m_2(x) = 4 - x \\ & m_2(4) = 0 \text{ m}, \quad m_2(6) = -2 \text{ m} \\[0.5em] & \textbf{DC:} \quad 0 < x < 2 \\ & m_3(x) = -x \\ & m_3(0) = 0 \text{ m}, \quad m_3(2) = -2 \text{ m} \end{aligned} \]

Obliczenie przemieszczenia - całkowanie analityczne

Wzór ogólny:

\[ \Delta_{D}=\int_0^4 \frac{M_1(x) \cdot m_1(x)}{EI} dx+\int_4^6 \frac{M_2(x) \cdot m_2(x)}{EI} dx+\int_0^2 \frac{M_3(x) \cdot m_3(x)}{EI} dx \]

Podstawienie funkcji:

\[ \begin{aligned} \Delta_{D}= & \frac{1}{EI} \cdot\left[\int_0^4\left(-68+29 \cdot x-3 \cdot x^2\right) \cdot(4-x) dx+ \right.\\ & \left. +\int_4^6[-68+29 \cdot x-24 \cdot(x-2)] \cdot(4-x) dx + \int_0^2 10 \cdot(-x) dx\right] \end{aligned} \]

Uproszczenie wyrażeń pod całkami:

\[ \begin{aligned} \Delta_{D}=\frac{1}{EI} \cdot & \left[\int_0^4\left(3 \cdot x^3-41 \cdot x^2+184 \cdot x-272\right) dx+ \right.\\ & \left. +\int_4^6\left(40 \cdot x-5 \cdot x^2-80\right) dx+\int_0^2-10x dx\right] \end{aligned} \]

Rozwiązanie całkowania krok po kroku:

\[ \begin{aligned} & \int_0^4\left(3x^3-41x^2+184x-272\right) dx+\int_4^6\left(40x-5x^2-80\right) dx+\int_0^2-10x dx= \\ & {\left[\frac{3x^4}{4}-\frac{41x^3}{3}+92x^2-272x\right]_0^4+\left[20x^2-\frac{5x^3}{3}-80x\right]_4^6+\left[-5x^2\right]_0^2=} \\ & \left(\frac{3 \cdot 256}{4}-\frac{41 \cdot 64}{3}+92 \cdot 16-272 \cdot 4\right)+\\ & +\left(\left(20 \cdot 36-\frac{5 \cdot 216}{3}-80 \cdot 6\right)-\left(20 \cdot 16-\frac{5 \cdot 64}{3}-80 \cdot 4\right)\right)+(-5 \cdot 4)= \\ & \left(192-\frac{2624}{3}+1472-1088\right)+\left((720-360-480)-\left(320-\frac{320}{3}-320\right)\right)-20= \\ & \left(\frac{576}{1}-\frac{2624}{3}\right)+\left(-120+\frac{320}{3}\right)-20= \\ & -\frac{896}{3}-\frac{40}{3}-20=-\frac{936}{3}-20=-312-20=-332 \end{aligned} \] \[ \Delta_{D}=\frac{-332}{EI} \]

To że przemieszczenie wyszło ujemne oznacza, że wystąpi ono w stronę przeciwną niż przyjęliśmy siłę jednostkową.

Obliczenie przemieszczenia - całkowanie graficzne

Dobrze będzie widać na tym przykładzie przewagę całkowania graficznego nad analitycznym przy liczeniu przemieszczeń.

\[ \Delta_{D}=\sum \int \frac{M_{P} M_{1}}{EI} dx \]

Całkowanie graficzne — *Rys. 4. Wykresy momentów - stan początkowy i jednostkowy*

Rozkład paraboli na figury proste:

Jeżeli obydwa wykresy są po tej samej stronie pręta - wynik całkowania danej sekcji jest dodatni, jeśli po przeciwnych stronach pręta - wynik ujemny. Można umownie przyjąć, że na dole mamy moment dodatnie, u góry ujemne.

\[ \begin{aligned} \Delta_{D} &=\sum \int \frac{M_{P} M_{1}}{EI} dx\\ &= \frac{1}{EI}\left[-\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 68 \cdot 4+\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{6 \cdot 4^{2}}{8}-\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10-\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10\right]\\ &=-332 \frac{1}{EI} \end{aligned} \]

Więcej informacji na temat całkowania graficznego znajdziecie tutaj - metoda Wereszczagina

Wytrzymałość materiałów

Metoda Maxwella – Mohra