MES Funkcje kształtu

Czym są funkcje kształtu?

Funkcje kształtu danego elementu opisują rozkład parametrów w elemencie skończonym.

Co to oznacza w praktyce?

Jeżeli policzymy korzystając z MES np. wartość przemieszczeń w węzłach trójkątnego elementu skończonego to nie znaczy, że znamy przemieszczenie dowolnego punktu tego elementu. Musimy więc dokonać interpolacji naszych wyników.

Funkcje kształtu muszą spełniać następujące warunki:

1. W i-tym węźle (czyli tym względem którego w danym momencie liczymy) musi być równa jeden
2. W pozostałych węzłach musi być równa zero
3. Suma funkcji kształtu ZAWSZE wynosi jeden

Obliczenie funkcji kształtu dla elementu trójkątnego

Wprost z powyższych wynika w jaki sposób możemy wyznaczyć funkcje kształtu dowolnego elementu.

Zapisujemy funkcje \(N(x,y)=A\cdot x+B\cdot y+C\) dla poszczególnych węzłów i rozwiązujemy powstałe układy równań

Węzeł 1

\[ \begin{aligned} &N_i(x, y)=A \cdot x+B \cdot y+C \\ &N_1(0,2)=A \cdot 0+B \cdot 2+C=1 \\ &N_1(1,0)=A \cdot 1+B \cdot 0+C=0 \\ &N_1(2,2)=A \cdot 2+B \cdot 2+C=0 \\ &A=-\frac{1}{2} \\ &B=\frac{1}{4} \\ &C=\frac{1}{2} \\ &N_1(x, y)=\frac{-1}{2} x+\frac{1}{4} y+\frac{1}{2} \end{aligned} \]

Węzeł 2

\[ \begin{aligned} &N_j(x, y)=A \cdot x+B \cdot y+C \\ &N_2(0,2)=A \cdot 0+B \cdot 2+C=0 \\ &N_2(1,0)=A \cdot 1+B \cdot 0+C=1 \\ &N_2(2,2)=A \cdot 2+B \cdot 2+C=0 \\ &A=0 \\ &B=\frac{-1}{2} \\ &C=1 \\ &N_2(x, y)=\frac{-1}{2} y+1 \end{aligned} \]

Węzeł 3

\[ \begin{aligned} &N_k(x, y)=A \cdot x+B \cdot y+C \\ &N_3(0,2)=A \cdot 0+B \cdot 2+C=0 \\ &N_3(1,0)=A \cdot 1+B \cdot 0+C=0 \\ &N_3(2,2)=A \cdot 2+B \cdot 2+C=1 \\ &A=\frac{1}{2} \\ &B=\frac{1}{4} \\ &C=\frac{-1}{2} \\ &N_3(x, y)=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} y-\frac{1}{2} \end{aligned} \]

Zapis macierzowy

W praktyce jeżeli obliczamy funkcje kształtu korzystając z komputera nie z kartki/długopisu/kalkulatora dużo więcej sensu ma równoważny zapis:

\[ \begin{aligned} & {\left[\begin{array}{ll} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}\right]} \\ & {\left[\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right]^{-1} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right]} \\ & N_1(x, y)=a_1 \cdot x+b_1 \cdot y+c_1 \rightarrow \frac{y}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{x}{2}\right) \\ & N_2(x, y)=a_2 \cdot x+b_2 \cdot y+c_2 \rightarrow-\frac{y}{2}+1 \\ & N_3(x, y)=a_3 \cdot x+b_3 \cdot y+c_3 \rightarrow \frac{y}{4}+\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Jak widać wyniki są jednoznaczne i w obu przypadkach suma funkcji kształtu to jeden:

\[ \begin{aligned} & N_1(x, y)+N_2(x, y)+N_3(x, y)=1 \\ & \frac{y}{4}+\frac{1}{2}-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+1+\frac{y}{4}+\frac{x}{2}-\frac{1}{2}=1 \end{aligned} \]

Jednoznaczność wyników wynika oczywiście z tego że drugie podejście nie jest niczym innym jak przedstawieniem macierzowym równań z podejścia pierwszego:

\[ \begin{aligned} N_1 = a_1x + b_1y + c_1 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} N_2 = a_2x + b_2y + c_2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} N_3 = a_3x + b_3y + c_3 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \end{aligned} \]