Opis ruchu w układzie kartezjańskim

Ruch punktu we współrzędnych prostokątnych

Punkt w przestrzeni ma trzy stopnie swobody, wobec tego jego położenie można określić podając trzy równania ruchu. We współrzędnych prostokątnych będą to równania:

\(x=f(t), y=f(t), z=f(t)\)

a) Składowe prędkości

Skąd składowe prędkości:

\(v_x=\frac{dx}{dt}=\dot{x} \\ v_y=\frac{dy}{dt}=\dot{y} \\ v_z=\frac{dz}{dt}=\dot{z}\\\)

Prędkość całkowita punktu (zawsze styczna do toru):

\(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\)

b) Składowe przyspieszenia

Składowe przyspieszenia punktu:

\(a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=\ddot{x} \\ a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}=\ddot{y} \\ a_z=\frac{dv_z}{dt}=\frac{d^2z}{dt^2}=\ddot{z} \)

Przyspieszenie całkowite:

\(a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)

Opis ruchu poprzez równanie toru

Ruch punktu można również opisać podając:

• równanie toru: \(f(x,y,z)=0\)
• równanie ruchu po torze: \(s=f(t)\)

a) Prędkość punktu

Prędkość punktu wynosi wówczas:

\(v=\frac{ds}{dt}=\dot{s}\)

b) Składowe przyspieszenia

Składowa styczna przyspieszenia:

\(a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}=\ddot{s}\)

Składowa normalna:

\(a_n=\frac{v^2}{\rho}\)

gdzie \(\rho\) jest promieniem krzywizny toru.

Przyspieszenie całkowite punktu określone jest wzorem:

\(a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}\)