Twierdzenia redukcyjne przy liczeniu przemieszczeń

Wprowadzenie – problem obliczania przemieszczeń w układach hiperstatycznych

Obliczenie przemieszczenia w układzie statycznie niewyznaczalnym za pomocą metody Maxwella-Mohra wiąże się z fundamentalnym wyzwaniem. Standardowy wzór wymaga przemnożenia sił ze stanu rzeczywistego (z układu hiperstatycznego) przez siły ze stanu wirtualnego, który również musiałby być stworzony na tym samym układzie hiperstatycznym. Aby uniknąć dwukrotnego rozwiązywania złożonej konstrukcji, stosuje się twierdzenia redukcyjne, które w pomysłowy sposób upraszczają jeden z analizowanych stanów.

Zgodnie z twierdzeniem o wzajemności prac (twierdzeniem Bettiego), w całce Mohra \( \int S_{rzecz} \cdot S_{wirt} \) możemy zamienić role stanów. To prowadzi do dwóch różnych, ale równie skutecznych, twierdzeń redukcyjnych.

I Twierdzenie Redukcyjne (o redukcji stanu sił wirtualnych)

Pierwsze twierdzenie redukcyjne stosujemy, gdy dysponujemy już ostatecznymi wykresami momentów gnących \(M_{ost} /) dla układu hiperstatycznego. W tym podejściu to stan wirtualny jest redukowany do prostego układu statycznie wyznaczalnego.

W całce Mohra na przemieszczenie całkujemy momenty gnące ze stanu rzeczywistego, pochodzące z układu statycznie niewyznaczalnego (\(M_{ost}\)), przez momenty gnące ze stanu wirtualnego, pochodzące z dowolnego pomocniczego układu statycznie wyznaczalnego (\(\bar{m}_k\)).

Wzór na przemieszczenie od zginania przybiera postać:

\[ \delta, \phi = \int_L \frac{M_{ost}(x) \cdot \bar{m}_k(x)}{EI} dx \]

• Stan rzeczywisty (złożony): \(M_{ost}(x)\) – ostateczny wykres momentów.
• Stan wirtualny (prosty, zredukowany): \(\bar{m}_k(x)\) – wykres momentów od siły jednostkowej na układzie podstawowym.

II Twierdzenie Redukcyjne (o redukcji stanu sił rzeczywistych)

Drugie twierdzenie redukcyjne polega na zamianie ról. W tym przypadku to stan rzeczywisty jest redukowany do prostego układu statycznie wyznaczalnego, a cały wysiłek obliczeniowy związany z hiperstatycznością przerzucany jest na stan wirtualny.

W całce Mohra na przemieszczenie całkujemy momenty gnące ze stanu rzeczywistego, pochodzące z układu statycznie wyznaczalnego (\(M_{P}\)), przez momenty gnące ze stanu wirtualnego, pochodzące z układu statycznie niewyznaczalnego (\(\bar{M}_{ost}\)).

Wzór na przemieszczenie wygląda następująco:

\[ \delta = \int_L \frac{\bar{M}_{ost}(x) \cdot M_P(x)}{EI} dx \]

• Stan rzeczywisty (prosty, zredukowany): \(M_P(x)\) – wykres momentów od rzeczywistych obciążeń zewnętrznych na układzie podstawowym.
• Stan wirtualny (złożony): \(\bar{M}_{ost}(x)\) – ostateczny wykres momentów w układzie hiperstatycznym, ale wywołany wirtualnym obciążeniem jednostkowym (\(P=1\) lub \(M=1\)).

Wyznaczenie złożonego stanu wirtualnego \(\bar{M}_{ost}(x)\) wymaga przejścia przez procedurę metody sił dla obciążenia jednostkowego, czyli rozwiązania układu równań kanonicznych w celu znalezienia "wirtualnych" sił nadliczbowych i zbudowania ostatecznego wykresu wirtualnego.

Podsumowanie i wybór metody

Oba twierdzenia prowadzą do tego samego wyniku, ale rozkładają wysiłek obliczeniowy w inny sposób. Wybór zależy od tego, który stan – rzeczywisty czy wirtualny – wolimy potraktować jako złożony (hiperstatyczny):

• I Twierdzenie Redukcyjne: Stan rzeczywisty jest złożony (\(M_{ost}\)), a wirtualny prosty (\(\bar{m}_k\)). Idealne, gdy i tak musimy obliczyć i narysować ostateczne wykresy sił wewnętrznych.
• II Twierdzenie Redukcyjne: Stan rzeczywisty jest prosty (\(M_P\)), a wirtualny złożony (\(\bar{M}_{ost}\)). Może być użyteczne w specyficznych zadaniach teoretycznych lub gdy obliczenia dla stanu jednostkowego są z jakiegoś powodu prostsze. W praktyce najczęściej stosuje się pierwsze twierdzenie.