Drgania własne płaskich układów prętowych z dyskretnym rozkładem mas

Wprowadzenie – od statyki do dynamiki

Dynamika jest działem mechaniki zajmującym się ruchem ciał pod wpływem sił zmiennych w czasie. W kontekście budownictwa, obciążenia dynamiczne – takie jak wiatr, trzęsienia ziemi, ruch pojazdów czy praca maszyn – wprawiają konstrukcję w drgania. Drgania to ruchy oscylacyjne wokół statycznego położenia równowagi. Analiza dynamiczna jest kluczowa dla zapewnienia bezpieczeństwa i komfortu użytkowania, ponieważ pozwala przewidzieć, jak konstrukcja "zachowa się" pod wpływem takich obciążeń.

Każda konstrukcja posiada swoje naturalne, wewnętrzne właściwości dynamiczne. Najważniejszą z nich jest częstość drgań własnych (lub okres drgań własnych). Jest to "ulubiona" częstość, z jaką układ chciałby drgać, gdyby został wytrącony z położenia równowagi i pozostawiony sam sobie. Znajomość tych częstości jest fundamentalna, ponieważ pozwala uniknąć zjawiska rezonansu – niebezpiecznego wzrostu amplitudy drgań, gdy częstość obciążenia zewnętrznego zbiega się z częstością drgań własnych układu.

Model dyskretny – dynamiczne stopnie swobody (Sd)

Aby przeanalizować drgania złożonej konstrukcji, musimy uprościć jej model. W przypadku dyskretnego rozkładu mas, zakładamy, że cała masa konstrukcji jest skupiona w kilku wybranych punktach (węzłach), a łączące je pręty są nieważkie, ale posiadają sztywność. Co ważne, podobnie jak w statyce, zakładamy również, że pręty są nieściśliwe – czyli nie zmieniają swojej długości. To pozwala nam opisać ruch całego układu za pomocą ograniczonej liczby współrzędnych.

Liczbę niezależnych współrzędnych, potrzebnych do jednoznacznego określenia położenia wszystkich mas w dowolnej chwili, nazywamy liczbą dynamicznych stopni swobody (Sd).

Metoda łańcucha kinematycznego do wyznaczania Sd

Najwygodniejszym narzędziem do określenia Sd jest analiza łańcucha kinematycznego, która jest bardzo podobna do procedury wyznaczania stopnia kinematycznej niewyznaczalności w metodzie przemieszczeń. Różnica polega na tym, że przeguby myślowe wstawiamy nie tylko w sztywnych węzłach, ale we wszystkich punktach, w których skupione są masy. Algorytm postępowania wygląda następująco:

1. Stworzenie łańcucha kinematycznego: W oryginalnym schemacie statycznym konstrukcji wstawiamy myślowe przeguby we wszystkich węzłach sztywnych oraz we wszystkich punktach, w których znajdują się masy skupione. Otrzymujemy w ten sposób łańcuch prętów połączonych przegubami.
2. Zablokowanie łańcucha: Następnie dodajemy do tego łańcucha minimalną liczbę fikcyjnych podpór (prętów podporowych), aby stał się on układem geometrycznie niezmiennym.
3. Określenie LSSD: Liczba dodanych fikcyjnych podpór jest równa liczbie dynamicznych stopni swobody. Każda taka podpora blokuje jeden możliwy ruch mas, a więc odpowiada jednemu stopniowi swobody.

Należy przy tym pamiętać o założeniu nieściśliwości prętów. Dla prętów pionowych (słupów) oznacza to, że nie uwzględniamy ich przemieszczeń pionowych, a dla prętów poziomych (rygli) – przemieszczeń poziomych, o ile nie wynikają one z ruchu całego fragmentu konstrukcji.

Ważna uwaga: Aby dana podpora fikcyjna reprezentowała rzeczywisty stopień swobody, musimy upewnić się, że jej usunięcie (czyli dopuszczenie przemieszczenia w tym kierunku) spowoduje ruch przynajmniej jednej masy w układzie. Jeśli usunięcie podpory nie powoduje przemieszczenia żadnej z mas, nie jest ona dynamicznym stopniem swobody.

Przykład wyznaczania Sd dla belki

Analiza kinematyczna - wstawiamy przeguby w węzłach sztywnych oraz we wszystkich punktach, w których znajdują się masy skupione. Otrzymujemy w ten sposób łańcuch prętów połączonych przegubami.

Blokujemy łańcuch i dodajemy fikcyjne podpory w takiej liczbie, aby łańcuch stał się układem geometrycznie niezmiennym.

Liczba dodanych fikcyjnych podpór jest równa liczbie dynamicznych stopni swobody. Każda taka podpora blokuje jeden możliwy ruch mas, a więc odpowiada jednemu stopniowi swobody.

Dla belki z rysunku 1 Sd = 2.

Podobnie postępujemy dla ramy.

Dla ramy z rysunku 3 Sd = 2.

Równanie drgań własnych układu dyskretnego

Analiza drgań własnych układu o skończonej liczbie dynamicznych stopni swobody sprowadza się do rozwiązania fundamentalnego, jednorodnego równania macierzowego, znanego jako problem własny dynamiki:

\[ (\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M}) \mathbf{A} = \mathbf{0} \]

Gdzie poszczególne macierze oznaczają:

• \(\mathbf{K}\) – macierz sztywności układu. Jej element \(k_{ij}\) to siła, jaka musi działać w \(i\)-tym stopniu swobody, aby wywołać jednostkowe przemieszczenie w \(j\)-tym stopniu swobody (przy zablokowanych pozostałych).
• \(\mathbf{M}\) – macierz mas. Dla układu dyskretnego jest to najczęściej macierz diagonalna, na której przekątnej znajdują się wartości skupionych mas \(m_i\).
• \(\omega\) – częstość kołowa drgań własnych (wartość własna problemu). Jest to niewiadoma, którą chcemy znaleźć.
• \(\mathbf{A}\) – wektor własny (amplitud drgań). Opisuje on kształt, czyli postać drgań własnych, odpowiadającą danej częstości \(\omega\).

Powyższe równanie ma niezerowe rozwiązanie dla wektora \(\mathbf{A}\) tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy jest równy zeru:

\[ \det(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M}) = 0 \]

Rozwiązanie tego równania, zwanego równaniem częstości, prowadzi do znalezienia \(n\) wartości kwadratów częstości własnych (\(\omega_1^2, \omega_2^2, \dots, \omega_n^2\)), gdzie \(n\) to Sd.

Alternatywne sformułowanie – macierz podatności

Problem własny można również sformułować przy użyciu macierzy podatności \(\mathbf{D}\), która jest odwrotnością macierzy sztywności (\(\mathbf{D} = \mathbf{K}^{-1}\)). Element \(\delta_{ij}\) macierzy podatności to przemieszczenie w punkcie \(i\), wywołane działaniem jednostkowej siły w punkcie \(j\). Równanie drgań przyjmuje wtedy postać:

\[ (\mathbf{D}\mathbf{M} - \frac{1}{\omega^2}\mathbf{I}) \mathbf{A} = \mathbf{0} \quad \text{lub} \quad (\omega^2\mathbf{D}\mathbf{M} - \mathbf{I}) \mathbf{A} = \mathbf{0} \]

To sformułowanie jest często wygodniejsze w praktyce, ponieważ współczynniki podatności \(\delta_{ij}\) można łatwo obliczyć za pomocą znanych metod ze statyki, np. całek Maxwella-Mohra. Rozwiązując równanie wiekowe \(\det(\omega^2\mathbf{D}\mathbf{M} - \mathbf{I}) = 0\), również otrzymujemy poszukiwane częstości własne.

Szczegółowe wyprowadzenie równania częstości (przykład dla Sd=2, wzory dla Sd=1 oraz Sd=3)

Aby zilustrować, jak z ogólnego zapisu macierzowego dochodzimy do praktycznego układu równań, prześledźmy krok po kroku wyprowadzenie dla układu o dwóch dynamicznych stopniach swobody (LSSD=2). Punktem wyjścia jest równanie wiekowe w formie macierzy podatności, które wymaga, aby wyznacznik macierzy był równy zeru dla niezerowego rozwiązania:

\[ \det(\omega^2 \mathbf{D} \mathbf{M} - \mathbf{I}) = 0 \]

Gdzie poszczególne macierze dla układu Sd=2 to:

• Macierz podatności: \( \mathbf{D} = \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} \\ \delta_{21} & \delta_{22} \end{bmatrix} \)
• Macierz mas (diagonalna): \( \mathbf{M} = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix} \)
• Macierz jednostkowa: \( \mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)

Krok 1: Mnożenie macierzy \(\mathbf{D}\) i \(\mathbf{M}\)

\[ \mathbf{D} \mathbf{M} = \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} \\ \delta_{21} & \delta_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{11}m_1 & \delta_{12}m_2 \\ \delta_{21}m_1 & \delta_{22}m_2 \end{bmatrix} \]

Krok 2: Pełne sformułowanie macierzy \(\omega^2 \mathbf{D} \mathbf{M} - \mathbf{I}\)

Mnożymy wynik z kroku 1 przez \(\omega^2\) i odejmujemy macierz jednostkową:

\[ \omega^2 \begin{bmatrix} \delta_{11}m_1 & \delta_{12}m_2 \\ \delta_{21}m_1 & \delta_{22}m_2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2\delta_{11}m_1 - 1 & \omega^2\delta_{12}m_2 \\ \omega^2\delta_{21}m_1 & \omega^2\delta_{22}m_2 - 1 \end{bmatrix} \]

Krok 3: Zapisanie układu równań liniowych

Z macierzowego równania \((\omega^2\mathbf{D}\mathbf{M} - \mathbf{I}) \mathbf{A} = \mathbf{0}\) otrzymujemy ostateczny układ równań liniowych dla amplitud \(A_1\) i \(A_2\):

\[ \begin{cases} (\omega^2\delta_{11}m_1 - 1)A_1 + (\omega^2\delta_{12}m_2)A_2 = 0 \\ (\omega^2\delta_{21}m_1)A_1 + (\omega^2\delta_{22}m_2 - 1)A_2 = 0 \end{cases} \]

Rozwiązanie wyznacznika tej macierzy daje równanie częstości, z którego obliczamy poszukiwane wartości \(\omega\).

Postać alternatywna (często wygodniejsza w obliczeniach)

Dzieląc wyjściowe równanie przez \(\omega^2\), otrzymujemy postać \((\mathbf{D}\mathbf{M} - \frac{1}{\omega^2}\mathbf{I}) \mathbf{A} = \mathbf{0}\). Prowadzi to do układu równań, w którym niewiadomą jest \(\lambda = 1/\omega^2\):

\[ \begin{bmatrix} \delta_{11}m_1 - \frac{1}{\omega^2} & \delta_{12}m_2 \\ \delta_{21}m_1 & \delta_{22}m_2 - \frac{1}{\omega^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Przypadki dla innej liczby stopni swobody

• Dla Sd = 1: Równanie redukuje się do prostej postaci: \[ (\delta_{11}m_1 - \frac{1}{\omega^2})A_1 = 0 \implies \omega^2 = \frac{1}{\delta_{11}m_1} \]
• Dla Sd = 3: Otrzymujemy analogiczny układ 3x3: \[ \begin{bmatrix} \delta_{11}m_1 - \frac{1}{\omega^2} & \delta_{12}m_2 & \delta_{13}m_3 \\ \delta_{21}m_1 & \delta_{22}m_2 - \frac{1}{\omega^2} & \delta_{23}m_3 \\ \delta_{31}m_1 & \delta_{32}m_2 & \delta_{33}m_3 - \frac{1}{\omega^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Należy pamiętać, że częstości drgań układamy w kolejności rosnącej

\[\omega_1 < \omega_2 < ... < \omega_n \]

Warunek ortogonalności form drgań własnych

Jedną z najważniejszych właściwości form drgań własnych jest ich wzajemna ortogonalność (prostopadłość) względem macierzy mas. Oznacza to, że dla dwóch różnych postaci drgań (np. k-tej i l-tej), iloczyn wektorów własnych z uwzględnieniem mas jest równy zeru. Dla przypadku diagonalnej macierzy mas, warunek ten można zapisać jako sumę:

\[ \sum_{i=1}^{n} (m_i \cdot A_{ik} \cdot A_{il}) = 0 \quad \text{dla} \quad k \neq l \]

Gdzie:

• \(m_i\) – wartość i-tej masy skupionej.
• \(A_{ik}\) – i-ta współrzędna (czyli przemieszczenie i-tej masy) w k-tej postaci drgań.
• \(A_{il}\) – i-ta współrzędna w l-tej postaci drgań.

Warunek ortogonalności jest niezwykle użyteczny i można go łatwo zwizualizować, rozpisując go dla konkretnej liczby stopni swobody.

Warunek ortogonalności dla Sd=2

Dla układu o dwóch stopniach swobody mamy dwie postaci drgań. Wektor pierwszej postaci drgań to \( \mathbf{A}_1 = \begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{21} \end{bmatrix} \), a drugiej to \( \mathbf{A}_2 = \begin{bmatrix} A_{12} \\ A_{22} \end{bmatrix} \). Warunek ortogonalności dla tych dwóch postaci wygląda następująco:

\[ m_1 \cdot A_{11} \cdot A_{12} + m_2 \cdot A_{21} \cdot A_{22} = 0 \]

Warunek ortogonalności dla Sd=3

Dla układu o trzech stopniach swobody mamy trzy postaci drgań. Wektory własne to \( \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3 \). Warunek ortogonalności musi być spełniony dla każdej pary różnych postaci drgań:

• Dla postaci 1 i 2 (\(k=1, l=2\)): \[ m_1 A_{11}A_{12} + m_2 A_{21}A_{22} + m_3 A_{31}A_{32} = 0 \]
• Dla postaci 1 i 3 (\(k=1, l=3\)): \[ m_1 A_{11}A_{13} + m_2 A_{21}A_{23} + m_3 A_{31}A_{33} = 0 \]
• Dla postaci 2 i 3 (\(k=2, l=3\)): \[ m_1 A_{12}A_{13} + m_2 A_{22}A_{23} + m_3 A_{32}A_{33} = 0 \]

Spełnienie tych warunków jest numerycznym dowodem na to, że obliczone formy drgań własnych są poprawne i wzajemnie niezależne.

Uproszczone metody wyznaczania pierwszej (najniższej) częstości własnej

W praktyce inżynierskiej najczęściej interesuje nas pierwsza (najniższa) częstość drgań własnych \(\omega_1\), ponieważ to ona zazwyczaj decyduje o odpowiedzi dynamicznej konstrukcji. Stosuje się skuteczne metody przybliżone.

Metoda Dunkerleya

Metoda ta daje dolne oszacowanie pierwszej częstości własnej.

\[ \omega_{min} = \sum_{i=1}^{n} \sqrt \frac{1}{(\delta_{ii} m_i)} \]

Dla Sd=2 mamy:

\[ \omega_{min} = \sqrt \frac{1}{(\delta_{11} m_1) + (\delta_{22} m_2)} \]

Metoda energetyczna (metoda Rayleigha)

Metoda ta polega na przyrównaniu maksymalnej energii kinetycznej drgającego układu do maksymalnej energii potencjalnej odkształcenia. Wymaga założenia kształtu pierwszej postaci drgań. Najczęściej zakłada się, że postać ta jest zbliżona do linii ugięcia \(\delta_i\) wywołanej przez statyczne obciążenie siłami ciężkości mas (\(P_i = m_i g\)). Wzór Rayleigha daje górne oszacowanie pierwszej częstości własnej i można go również wyrazić za pomocą wzoru:

\[ \omega_{max} = \sqrt{\frac{\delta_{jj}^{max}}{\sum_{i=1}^{n} m_i \delta_{ij}^2}} \]

• gdzie \(\delta_{jj}^{max}\) to maksymalne ugięcie w j-tym stopniu swobody.

• \(\delta_{ij}\) to ugięcie w i-tym stopniu swobody od siły jednostkowej w j-tym stopniu swobody.

Wartość oszacowania zależy od tego, która masa ma większy wpływ na ugięcie. Wybieramy odpowiedni wzór w zależności od wartości współczynników podatności:

• Jeśli \(\delta_{11} > \delta_{22}\): \[ \omega_{max} = \sqrt{\frac{\delta_{11}}{m_1\delta_{11}^2 + m_2\delta_{21}^2}} \]
• Jeśli \(\delta_{22} > \delta_{11}\): \[ \omega_{max} = \sqrt{\frac{\delta_{22}}{m_1\delta_{12}^2 + m_2\delta_{22}^2}} \]

Prawdziwa wartość pierwszej częstości własnej \(\omega_1\) leży zawsze pomiędzy oszacowaniem dolnym i górnym: \(\omega_{min} \le \omega_1 \le \omega_{max}\).