Przekształcamy do postaci residualnej (wszystkie elementy na lewą stronę):

\begin{aligned} & y^{\prime \prime}=3 x-1 \\ & y^{\prime \prime}-3 x+1=0 \end{aligned}

Zapisujemy sformułowanie słabe - mnożymy przez funkcję wagową i całkujemy

\begin{aligned} & \int_0^l\left(u^{\prime \prime}-3\left(x_e+a\right)+1\right) w_e \mathrm{~d} x=0 \\ & \int_0^l u^{\prime \prime} \cdot w_e \mathrm{~d} x-\int_0^l w_e \cdot\left(3\left(x_e+a\right)-1\right) \mathrm{d} x=0 \end{aligned}

Dla pierwszego elementu całkujemy przez części, ale uwaga - ta część z reguły jest tak samo schematyczna

\begin{aligned} & w_e \cdot u_e' \Big|_0^l - \int_0^l u_e' \cdot w_e' \, \mathrm{d}x - \int_0^l w_e \cdot \left(3\left(x_e + a\right) - 1\right) \, \mathrm{d}x = 0 \\ & \int_0^l u_e' \cdot w_e' \, \mathrm{d}x = w_e \cdot u_e' \Big|_0^l - \int_0^l \left(3\left(x_e + a\right) - 1\right) \cdot w_e \, \mathrm{d}x \end{aligned}

Aproksymacja

\begin{aligned} & u_e = N_e \cdot d \quad u_e' = N_e' \cdot d \\ & w_e = \beta_e^{\mathrm{T}} \cdot N_e^{\mathrm{T}} \quad w_e' = \beta_e^{\mathrm{T}} \cdot N_e'^{\mathrm{T}} \\ & \int_0^l N_e' \cdot d \cdot \beta_e^{\mathrm{T}} \cdot N_e^{\mathrm{T}} \, \mathrm{d}x = \beta_e^{\mathrm{T}} \cdot N_e^{\mathrm{T}} \cdot \left( N_e' \cdot d \right) \Big|_0^l - \int_0^l \left( 3(x_e + a) - 1 \right) \cdot \beta_e^{\mathrm{T}} \cdot N_e^{\mathrm{T}} \, \mathrm{d}x \\ & \int_0^l N_e' \cdot N_e^{\mathrm{T}} d \, \mathrm{d}x = N_e^{\mathrm{T}} \cdot \left( N_e' \cdot d \right) \Big|_0^l - \int_0^l \left( 3(x_e + a) - 1 \right) \cdot N_e^{\mathrm{T}} \, \mathrm{d}x \\ & K_e \cdot d = f_{be} - f_e \\ & K_e = \int_0^l N_e' \cdot N_e^{\mathrm{T}} \, \mathrm{d}x \\ & f_{be} = N_e^{\mathrm{T}} \cdot \left( N_e' \cdot d \right) \Big|_0^l \\ & f_e = \int_0^l \left( 3(x_e + a) - 1 \right) \cdot N_e^{\mathrm{T}} \, \mathrm{d}x \end{aligned}

Obliczamy poszczególne elementy

\begin{aligned} & x_1 = \frac{-2}{3} \quad x_2 = \frac{1}{3} \quad l = x_2 - x_1 = 1 \quad a = -\frac{2}{3} \quad x_e = 0 - a \quad d = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ \alpha \end{bmatrix} \\ & N_e(x_e) = \left[1-\frac{x_e}{l}, \frac{x_e}{l}, x_e \cdot (x_e - l)\right] \quad N_e^{\prime}(x_e) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} N_e(x) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2x-1 \end{bmatrix} \\ & K_e = \int_0^l \left(N_e^{\prime}(x)^{\mathrm{T}} \cdot N_e^{\prime}(x)\right) \, \mathrm{d}x = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix} \\ & f_b = N_e(l)^{\mathrm{T}} \cdot u^{\prime}(l) - N_e(0)^{\mathrm{T}} \cdot u^{\prime}(0) = \begin{bmatrix} -u^{\prime}(0) \\ u^{\prime}(1) \\ 0 \end{bmatrix} \\ & f_e = \int_0^l \left(3(x_e + a) - 1\right) \cdot N_e(x_e)^{\mathrm{T}} \, \mathrm{d}x_e = \begin{bmatrix} -1 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} \end{bmatrix} \end{aligned}

Rozwiązujemy układ równań:

\begin{aligned} & \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -u^{\prime}(0) \\ u^{\prime}(1) \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} \end{bmatrix} \\ & \begin{bmatrix} -2 \\ \frac{\alpha}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -u^{\prime}(0) + 1 \\ \frac{1}{2} + u^{\prime}(1) \\ -\frac{1}{4} \end{bmatrix} \\ & u^{\prime}(0) = 3 \\ & u^{\prime}(1) = \frac{3}{2} \\ & \alpha = -\frac{3}{4} \end{aligned}

Podstawiamy do równania na \(y_{hp}\) pamiętając o powrocie do ukłądu globalnego

\begin{aligned} & y_{hp} = N_e(x_e) \cdot d = \alpha \cdot x^2 + \left(\frac{\alpha \cdot x}{3} - \frac{2 \cdot \alpha}{9}\right) + 2 \cdot x + \frac{4}{3} \\ & y_{hp} = -\frac{3 \cdot x^2}{4} + \frac{7 \cdot x}{4} + \frac{3}{2} \end{aligned}

MES

Metody numeryczne - MES - Przykład 4

Przykład 0