Zadanie rozwiążemy dwoma metodami – analitycznie oraz graficznie.

Początkowy tok postępowania jest w obu przypadkach taki sam:

Wyodrębnienie myślowo węzła tj. przegubu A
Naniesienie obciążenia zewnętrznego – ciężaru G
Uwolnienie od więzów poprzez uzewnętrznienie sił wewnętrznych w prętach AB oraz AC metodą myślowych przecięć
Naniesienie układu współrzędnych Oxy

Metoda analityczna

Zapisujemy równania równowagi

\begin{array}{lll} \sum{F_{x}}=0 & -N_{AB}\sin{\alpha}+N_{AC}\sin{\beta}=0& (1)\\ \sum{F_{y}}=0 & N_{AB}\cos{\alpha}+N_{AC}\cos{\beta}-G=0& (2)\\ \end{array}

Rozwiązujemy powyższy układ równań

\begin{aligned} &(1)\quad -N_{AB}\sin{\alpha}+N_{AC}\sin{\beta}=0\\ &N_{AB}=N_{AC}\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}\\ &(2)\quad N_{AB}\cos{\alpha}+N_{AC}\cos{\beta}-G=0\\ &N_{AC}\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}\cos{\alpha}+N_{AC}\cos{\beta}=G\\ &N_{AC}\frac{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\beta}}{\sin{\alpha}}=G\\ &N_{AC}=G\cdot\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\beta}}\\ &N_{AB}=N_{AC}\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}=G\cdot\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\beta}}\cdot \frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}=G\cdot\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\beta}}\\ \end{aligned}

Podstawiamy wartości liczbowe

\begin{aligned} &N_{AB}=100\cdot\frac{\sin{60^{\circ}}}{\sin{30^{\circ}}\cdot \cos{60^{\circ}}+\cos{30^{\circ}}\cdot \sin{60^{\circ}}}=86,60\space[N]\\ &N_{AC}=100\cdot\frac{\sin{30^{\circ}}}{\sin{30^{\circ}}\cdot \cos{60^{\circ}}+\cos{30^{\circ}}\cdot \sin{60^{\circ}}}=50,00\space[N]\\ \end{aligned}

Powyższe wyrażenia można było znacząco uprościć korzystając z tożsamości trygonometrycznych, ponieważ:

\begin{aligned} \sin({\alpha+\beta})=\sin{\alpha}\cdot\cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot\sin{\beta} \end{aligned}

Więc w naszym przypadku:

\begin{aligned} &N_{AB}=G\cdot\frac{\cos{\alpha}}{\sin({\alpha+\beta})}=G\cdot \frac{\cos{30^{\circ}}}{\sin {90^{\circ}}}=G \cos{30^{\circ}}\\ &N_{AC}=G\cdot\frac{\sin{\alpha}}{\sin({\alpha+\beta})}=G\cdot \frac{\sin{30^{\circ}}}{\sin {90^{\circ}}}=G \sin{30^{\circ}}\\\\ \end{aligned}

Metoda graficzna

Rysujemy zamknięty wielobok sił działających na węzeł

Jak łatwo zauważyć możemy skorzystać z twierdzenie sinusów

\begin{aligned} \frac{G}{\sin{\gamma}}=\frac{N_{AB}}{\sin{60^{\circ}}}=\frac{N_{AC}}{\sin{30^{\circ}}} \end{aligned}

Jak łatwo zauważyć w naszym przypadku \(\gamma=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ} -> \sin{\gamma}=1 \)

\begin{aligned} N_{AB}=G\sin{60^{\circ}}\\ N_{AC}=G\sin{30^{\circ}}\\ \end{aligned}

Jak widać wyniki są dokładnie takie same jak w metodzie analitycznej.

Statyka - Płaski układ sił

Mechanika techniczna - Statyka - Płaski układ sił - Przykład 3

Przykład 3