1. Wyznaczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności

Najpierw redukujemy część wyznaczalną (nie jest to konieczne).
Następnie wyznaczamy SKN: \begin{aligned} &SKN=\sum \varphi +\sum \Delta\\ &SKN=1+1=2\\ \end{aligned}

2. Wybranie układu podstawowego metody przemieszczeń (UPMP)

Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń:
\( r_{11}\cdot\varphi_{1} +r_{12}\cdot\Delta_{2}+r_{1p}=0\\ r_{21}\cdot\varphi_{1} +r_{22}\cdot\Delta_{2}+r_{2p}=0\\ \)

3. Wykresy i wyznaczenie współczynników i wyrazów wolnych równania

stan \( \varphi_1 =\overline{1} \)

stan \( \Delta_2 =\overline{1} \)

stan P

Na pręcie poziomym dwa obciążenia powodują moment (obciążenie ciągłe i moment skupiony).
Znajdujemy w tablicach obie sytuacje, rysujemy wykres osobno od jednego i drugiego obciążenia.
Następnie (metodą superpozycji) dodajemy te wykresy w punktach charakterystycznych, pamiętając
że na połączonym wykresie funkcja dalej ma charakter paraboliczny.

Wyznaczenie współczynników UPMP

Reakcje od blokady obrotu (równowaga wyciętego węzła)

\begin{equation} \begin{aligned} & r_{11}-\frac{3 EI}{4}-\frac{4 EI}{4 \sqrt{2}}=0 \\ & r_{11}=1,457 EI \end{aligned} \end{equation}

Odstęp Odstęp

\begin{equation} \begin{aligned} & r_{12}-\frac{3}{16} EI+\frac{3 \sqrt{2}}{16} EI=0 \\ & r_{12}=-0,0777 EI \end{aligned} \end{equation}

Odstęp Odstęp

\begin{equation} \begin{aligned} r_{1 p}+33 & =0 \\ r_{1 p} & =-33 \end{aligned} \end{equation}

Reakcje od blokady przesuwu

W tym przykładzie policzymy metodą wycięć.

	\begin{equation} \begin{aligned} & \Sigma M_K=0 \\ & -r_{21} \cdot 4+1,457-\frac{4 EI}{4 \sqrt{2}}- \\ & -\frac{3}{16} EI \cdot 4 \sqrt{2}=0 \\ & \quad r_{2 1}=-0,0777 EI \end{aligned} \end{equation}
	\begin{equation} \begin{aligned} & \Sigma M_K=0 \\ & -r_{2 2} \cdot 4-0,0777 E I+ \\ & +\frac{3 \sqrt{2}}{16} EI+\frac{3}{32} EI \cdot 4 \sqrt{2}+ \\ & +\frac{3}{64} EI \cdot 4=0 \\ & \quad r_{22}=0,2263 EI \end{aligned} \end{equation}
	\begin{equation} \begin{aligned} & \Sigma M_K=0 \\ & - r_{2 p} \cdot 4-33-12 \cdot 4 \cdot 2-18=0 \\ & r_{2 p}=-36,75 \end{aligned} \end{equation}

4. Rozwiązanie układu równań kanonicznych

\begin{aligned} &1,457 EI \cdot\varphi_{1} -0,0777 EI \cdot\Delta_{2}-33=0\\ &-0,0777 EI \cdot\varphi_{1} +0,2263 EI \cdot\Delta_{2}-36,75=0\\ \\ &\varphi_{1} = \frac{31,894}{EI} \\ &\Delta_{2}= \frac{173,346}{EI} \\ \end{aligned}

5. Wykres ostateczny momentów ze wzoru superpozycyjnego

\begin{aligned} &M_{ost}=M_{1} \cdot \varphi_{1}+M_{2} \cdot \Delta_{2}+M_{p}\\ \end{aligned} Tym razem inaczej niż w poprzednim przykładzie zamiast rozpisywać momenty w punktach charakterystycznych,
narysujemy sobie przemnożone wykresy \( M_1 \cdot \varphi_1 \) oraz \( M_2 \cdot \Delta_2 \)
Suma tych wykresów oraz wykresu MP daje nam moment ostateczny zgodnie z powyższym wzorem.

Należy pamiętać, że jeśli zredukujemy do rozwiązania część wyznaczalną, to teraz na wykresie ostatecznym należy narysować wykres też na tym pręcie.

Obliczenia do wykresu sił poprzecznych

Element BC:

\begin{equation} \begin{aligned} & \Sigma M_B=0 \\ & 23,41+12 \cdot 4 \cdot 2-18+Q_C \cdot 4=0 \\ & Q_C=-25,35 \ \mathrm{kN} \\ & \Sigma y=0 \\ & Q_B-12 \cdot 4-Q_C=0 \\ & Q_B=22,65 \ \mathrm{kN} \end{aligned} \end{equation} Współrzędna ekstremalnej wartości momentu
w elemencie BC:
\begin{equation} \frac{22,65}{x}=\frac{25,35}{4-x} \Rightarrow x=1,8875 \mathrm{m} \end{equation}

moment ekstremalny
\( \text { Mex }=23,41+Q_B \cdot x-12 \cdot x \cdot \frac{x}{2}=44,79 \mathrm{kNm} \)

Element AB:	Odstęp Odstęp	\begin{equation} \begin{aligned} & \Sigma M_A=0 \\ & -34,69-23,41+ \\ & +Q_B \cdot 4 \sqrt{2}=0 \\ & Q_B=10,27 \ \mathrm{kN} \\ & Q_A=Q_B \end{aligned} \end{equation}
Element CE:	Odstęp Odstęp	\begin{equation} \begin{aligned} & \Sigma M_E=0 \\ & -32,5+Q_C \cdot 4=0 \\ & Q_C=8,125 \ \mathrm{kN} \end{aligned} \end{equation}

Ostateczny wykres sił tnących [kN]

Obliczenia do wykresu sił podłużnych

węzeł B

\begin{equation} \begin{aligned} & \Sigma y=0 \\ & -N_1 \frac{\sqrt{2}}{2}+10,27 \frac{\sqrt{2}}{2}- \\ & -22,65=0 \\ & N_1=-21,76 \mathrm{kN} \\ & \Sigma x=0 \\ & -N_1 \frac{\sqrt{2}}{2}-10,27 \frac{\sqrt{2}}{2}+ \\ & +N_2=0 \\ & N_2=-8,125 \mathrm{kN} \end{aligned} \end{equation}

Odstęp Odstęp

węzeł C

\begin{equation} \begin{aligned} & \Sigma y=0 \\ & -25,65+18-N_3=0 \\ & N_3=-7,65 \\ & \Sigma x=0(\text { spr. }) \\ & -N_2-8,125=0 \\ & (-8,125) \\ & 0=0 \end{aligned} \end{equation}

Wykres sił osiowych [kN]

6. Sprawdzenie kinematyczne:

Przyjmujemy układ wyznaczalny i rysujemy wykres momentów od siły jednostkowej. (stopień statycznej niewyznaczalności SSN=6-3-1=2)

Rozcinamy układ w przegubie i w miejsce sił tam występujących przyjmujemy siły jednostkowe x1 oraz x2.
Rysujemy obydwa wykresy jednostkowe i całkujemy moment ostateczny raz z jednym, raz z drugim wykresem.

Pierwszy wykres

\begin{equation} =\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 4 \sqrt{2} \cdot 34.69-\frac{1}{6} \cdot 8 \cdot 4 \sqrt{2} \cdot 23.41+\frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{2} \cdot 34.69-\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{2} \cdot 23.41+ \\ +\frac{-1}{3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 23.41-\frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 18-\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 24 \end{array}\right) \end{equation}

\begin{equation} \delta_1=0.129 \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{equation}
Wynik tego rzędu jest wynikiem o którym ciężko powiedzieć, że jest bliski zeru, a sprawdzenie kinematyczne taki wynik powinno dawać.
Jeśli sprawdzenie wykonujemy przy zadaniu z metody sił, wówczas dzieli się ten wynik \( \delta_1 \) przez całkowanie wcześniejsze \( \delta_{1p} \)
i ten iloraz powinien w procentach być mniejszy niż 1,5.

Przy sprawdzeniu kinematycznym w metodzie przemieszczeń jeśli mamy wątpliwość czy wynik jest wystarczająco bliski zeru możemy zliczyć dodatnie
wyrażenia tego sprawdzenia oraz ujemne, żebyśmy wiedzieli na jakim rzędzie liczb wykonujemy działanie.

\begin{equation} \begin{array}{lll} \text { Człony dodatnie } & \text { Człony ujemne } & \text { Różnica } \\ \delta_{1 \mathrm{D}}=654.121 \frac{1}{\mathrm{EI}} & \delta_{1 \mathrm{U}}=-653.992 \frac{1}{\mathrm{EI}} & \delta_1=\delta_{1 \mathrm{D}}+\delta_{1 \mathrm{U}}=0.129 \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{array} \end{equation}
Gdyby wynik 0,129 wyszedł z równania 1,129 - 1 = 0,129 to wtedy ten wynik jest znaczący.
Ale przy równaniu 654,121-653,991=0,129 ten wynik jest niewielki.

Błąd względny
\( \left|\frac{\delta_1}{\delta_{1 \mathrm{D}}}\right|=0.02 \% \quad<1,5 \)

Drugi wykres

\( =\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{2} \cdot 34.69-\frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{2} 23.41-\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 32.5\right)=0.03 \frac{1}{\mathrm{EI}} \approx 0 \)

Metoda przemieszczeń

Mechanika budowli - Metoda przemieszczeń - Przykład 7

Przykład 7