1. Wyznaczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności:

\begin{aligned} &SKN=\sum \varphi +\sum \Delta\\ &SKN=1+1=2\\ \end{aligned}

2. Wybranie układu podstawowego metody przemieszczeń (UPMP):

(po lewej stronie)

Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń:
\( r_{11}\cdot\varphi_{1} +r_{12}\cdot\Delta_{2}+r_{1p}=0\\ r_{21}\cdot\varphi_{1} +r_{22}\cdot\Delta_{2}+r_{2p}=0\\ \)

3. Wykresy i wyznaczenie współczynników i wyrazów wolnych równania:

stan \( \varphi_1 =\overline{1} \)

stan \( \Delta_2 =\overline{1} \)

stan P

Wyznaczenie współczynników UPMP

Reakcje od blokady obrotu (równowaga wyciętego węzła).

\( \Sigma M=0 \\ r_{11}=0,8 EI+0,75EI+1EI=2,55EI \hspace{1cm} r_{12}=\frac{3}{8} EI \hspace{5cm} r_{1 p}=3\\ \)
Reakcje od blokady przesuwu
Policzymy te reakcje dwiema metodami.
Jeśli nie mamy pomysłu jak wyciąć większą część ramy i jakie równanie zapisać,
to zawsze można robić równowagi węzła, jednak prawie nigdy (albo nigdy?) nie wystarczy równowaga jednego węzła.
Najczęściej, tak jak w tym przypadku będziemy musieli zrównoważyć dwa węzły.
W drugim wariancie wytniemy pręt skośny przecinając przez dochodzące pręty.

Reakcja \( r_{21} \) z wykresu \( M_1 \)

Wariant 1

Najpierw zapisujemy równania równowagi dla węzła
w którym nie ma szukanej reakcji (tam jest za dużo niewiadomych,
tzn. trzy, a mamy tylko dwa równania sumę na x i na y)
\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{y}=0 \\ & -\mathrm{N}_1 \cdot \sin \alpha-0.24 \mathrm{EI} \cdot \cos \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_1=\frac{0.24 \mathrm{EI} \cdot \cos \alpha}{-\sin \alpha}=-0.18 \mathrm{EI} \end{aligned} Obliczamy siłę osiową w pręcie - N1 i w węźle środkowym zostają dwie niewiadome.
\begin{aligned} & \Sigma y=0 \\ & r_{21}+N_1 \cdot \sin \alpha+0.24 \mathrm{EI} \cdot \cos \alpha-0.375 \mathrm{EI}=0 \\ & \mathrm{r}_{21}=0.375 \mathrm{EI} \end{aligned}

Wariant 2 W takim wycięciu jak poniżej - niewiadome są siły osiowe, jednak uwaga:
w pręcie pionowym siła normalna jest równa 0! Wystarczy spojrzeć na temat zadania,
na dole jest podpora z poziomą reakcją, nie ma reakcji pionowej, a więc widzimy od dołu,
że nie ma w tym pręcie żadnej siły osiowej.

Oprócz pionowej reakcji \( r_2 \) którą chcemy obliczyć są dwie poziome niewiadome
(reakcja w łyżwie i siła osiowa w pręcie poziomym).
Zapisujemy więc sumę rzutów na oś y.

Wynik zgadza się z wariantem 1, obliczenia są dużo łatwiejsze,
co pokazuje że warto umieć znaleźć wycięcie większej części ramy.

Reakcja \( r_{22} \) z wykresu \( M_2 \)

Wariant 1

W tym przypadku nie ma siły tnącej
na pręcie skośnym, a więc z węzła A - \( N_1 = 0 \)

Wobec tego z węzła środkowego: \( r_{22}=\frac{3}{16} EI \)

Wariant 2

Wynik zgadza się z wariantem 1

Reakcja \( r_{2p} \) z wykresu \( M_P \)

Wariant 1

\begin{aligned} & \Sigma y=0 \\ & -N_1 \cdot \sin \alpha-10=0 \\ & N_1=\frac{10}{-\sin \alpha}=-12.5 \\ & \Sigma y=0 \\ & r_{2 p}-3+N_1 \cdot \sin \alpha=0 \\ & r_{2 p}=13 \end{aligned}

Wariant 2

Wynik zgadza się z wariantem 1

4. Rozwiązanie układu równań:

\begin{aligned} &2,55 EI \cdot \varphi_{1}-\frac{3 EI}{8} \cdot \Delta_{2}+3=0 \\ &-\frac{3 EI}{8} \cdot \varphi_{1}+\frac{6 EI}{16} \cdot \Delta_{2}+13=0 \\ \\ &\varphi_{1}=\frac{12,78}{E I} \\ &\Delta_{2}=\frac{-94,89}{E I} \end{aligned}

5. Ostateczny wykres momentów gnących w ramie [kNm]:

\( M_{o s t}=M_{1} \cdot \varphi_{1}+M_{2} \cdot \Delta_{2}+M_p \)

\begin{aligned} & \mathrm{M}_{\mathrm{A}}=\frac{-2 \mathrm{EI}}{5} \cdot \varphi_1=-5.11 \ \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{BA}}=\frac{4 \mathrm{EI}}{5} \cdot \varphi_1=10.22 \ \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{BC}}=-1 \mathrm{EI} \cdot \varphi_1-\frac{3 \mathrm{EI}}{8} \cdot \Delta_2-3=19.8 \ \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{C}}=\frac{\frac{2 \mathrm{EI}}{4}-\frac{4 \mathrm{EI}}{4}}{2} \cdot \varphi_1+0 \cdot \Delta_2+3=-0.19 \ \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{D}}=\frac{2 \mathrm{EI}}{4} \cdot \varphi_1+\frac{3 \mathrm{EI}}{8} \cdot \Delta_2-3=-32.19 \ \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{BE}}=\frac{-3 \mathrm{EI}}{4} \cdot \varphi_1=-9.58 \ \mathrm{kNm} \end{aligned}

Dla osób które chcą doliczyć siły tnące i normalne wklejam poniżej jak powinny wyglądać ostateczne wykresy.
(na wykresie sił normalnych (na niebiesko) znaki wyjdą analitycznie na odwrót, ponieważ wklejam zrzut z programu Robot,
a tam jest odwrotna konwencja znakowania)

Wykres sił tnących [kN]

Wykres sił normalnych [kN]

Metoda przemieszczeń

Mechanika budowli - Metoda przemieszczeń - Przykład 5

Przykład 5