Aby napisać metodą analityczną funkcje reakcji podporowych oraz sił przekrojowych dzielimy belkę gerberowską na belki proste

Zapisujemy równania równowagi dla belek prostych zaczynając od belki nadrzędnej; rozpatrujemy dwa przypadki – siła jest na belce pierwszej (x od 0 do 3) lub – siła jest na belce drugiej (x od 3 do 8)

Gdy siła jest na pierwszej belce x∈(0,3)

Zaczynamy liczyć od belki nadrzędnej

\begin{aligned} &II\\ &V_P=0\\ &V_B=0\\ \end{aligned}

Belka podrzędna

\begin{aligned} &I\\ &\sum {Y}=0\\ &V_A=1\\ &\sum {M_A}=0\\ &M_A+x=0 \\ &M_A=-x\\ &M_{A(0)}=0 \\ &M_{A(3)}=-3\\ \\ \end{aligned}

Gdy siła jest na drugiej belce x\(\in(3,8)\)

\begin{aligned} II\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &\sum {M_P}=0 \\ & 1\cdot(x-3)-V_B\cdot 3=0 \\ & V_B=\frac{x-3}{3}\\ &V_{B(3)}=0 \\ &V_{B(6)}=1\\ &V_{B(8)}=1.667\\ &\sum {Y}=0 \\ & V_P+V_B-1=0\\ &V_P=1-V_B=1-\frac{x-3}{3}=\frac{3-x+3}{3}=\frac{6-x}{3}\\ &V_{P(3)}=1\\ &V_{P(6)}=0\\ &V_{P(8)}=-0.667\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \\ &I\\ &\sum {Y}=0 \\ &V_A=V_P=\frac{6-x}{3}\\ &V_{A(3)}=1\\ &V_{A(6)}=0\\ &V_{A(8)}=-0.667\\ &\sum {M_A}=0 \\ &M_A+V_P\cdot 3=0\\ &M_A=-3\cdot V_P=-3(\frac{6-x}{3})=x-6\\ &M_{A(3)}=-3\\ &M_{A(6)}=0\\ &M_{A(8)}=2\\ \\ \end{aligned}

Następnie aby wyznaczyć linie wpływu sił przekrojowych należy rozpatrzyć dwa przypadki: przypadek pierwszy – siła jest przed przekrojem „k” (na rysunku pierwszym zaznaczono zwroty dodatniej siły tnącej i momentu gnącego rozpatrując przekrój z prawej strony, a na drugim – rozpatrując z lewej strony); zapisujemy funkcje siły tnącej i momentu gnącego względem przekroju

Siły przekrojowe

\begin{aligned} &x\in (0,1,5)\\ \end{aligned}

\begin{aligned} Q_k&=V_P\\ M_k&=-\frac{3}{2}V_P\\ \end{aligned} \begin{aligned} &x\in (1,5,8)\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \\ Q_k&=V_A\\ M_k&=\frac{3}{2}V_A+M_A\\ \\ \end{aligned}

to samo robimy z przekrojem „l” – tym razem przekrój rozpatrujemy dwa razy z prawej strony

\begin{aligned} \\ Q_l&=0\\ M_l&=0\\ \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \\ Q_l&=1\\ M_l&=-1(x-7)=7-x\\ \\ \end{aligned}

Wstawiając do otrzymanych funkcji granice przedziałów otrzymujemy wartości w punktach charakterystycznych i rysujemy wykresy. Uwaga! Gdy przedział zmienności „x” dla sił przekrojowych obejmuje dwie belki należy pamiętać, że funkcje reakcji podporowych do których wstawiamy punkty również się zmieniają! Wtedy dzielimy ten przedział na dwa podprzedziały i w każdym używamy odpowiednich funkcji reakcji podporowych.

Wykresy

Linie wpływu

Mechanika budowli - Linie wpływu - Przykład 4

Przykład 4