Rozwiązanie tej samej belki metodą kinematyczną

Rozwiązanie belki metodą analityczną

Belka Gerberowska jest analizowana w podziale na trzy belki składowe, ponumerowane od najwyższej do najniższej (w tym przypadku: pierwsza, druga, trzecia). Siłę jednostkową przemieszczamy w trzech głównych przypadkach, odpowiadających położeniu siły na jednej z belek. Obliczenia sił przekrojowych w dowolnym przekroju $k$ muszą uwzględniać ten trójstopniowy podział.

1. Obliczenie linii wpływu reakcji podporowych

Belki Gerberowskie zawsze zaczyna się liczyć od belki najbardziej nadrzędnej (pierwszej) i rozpatruje się trzy przypadki położenia siły jednostkowej $1$.

Przypadek I: Siła na belce podrzędnej (przedział $0 \le X \le 7$)

Siła jednostkowa znajduje się na belce podrzędnej (trzeciej). Musimy zacząć liczyć od belki nadrzędnej, na której w tym przypadku siły nie ma.

1. Na belce pierwszej (nadrzędnej) siły są zerowe:

\begin{array}{ll} \boldsymbol{I} & \\ \sum M_D=0 & V_{P 2}=0 \\ \sum y=0 & V_D=0 \\ \end{array}

2. Przechodzimy na belkę drugą (środkową). Siły również nie ma:

\begin{array}{ll} \boldsymbol{II} & \\ \sum M_C=0 & V_{P 1}=0 \\ \sum y=0 & V_C=0 \end{array}

3. Przechodzimy na belkę trzecią (podrzędną, gdzie działa siła $1$ na odległości $X$):

\begin{array}{llll} \text { III } & & & \\ \sum M_B=0 & V_A \cdot 5-1 \cdot(5-x)=0 & V_A=\frac{5-x}{5} & V_A(0)=1 \\ \sum y=0 & V_A+V_B-1=0 & & V_A(5)=0 \\ & V_B=\frac{5}{5}-\frac{5-x}{5}=\frac{x}{5} & V_B(0)=0 & V_A(7)=-0,4 \\ & & V_B(5)=1 & \\ & & V_B(7)=1,4 & \end{array}

Przypadek II: Siła na belce środkowej (przedział $7 \le X \le 12$)

1. Na belce pierwszej (nadrzędnej) siły są zerowe, ponieważ siła jednostkowa znajduje się za nią.

\begin{array}{ll} \boldsymbol{I} & \\ \sum M_D=0 & V_{P 2}=0 \\ \sum y=0 & V_D=0 \end{array}

2. Przechodzimy na belkę drugą (środkową, gdzie działa siła $1$):

\begin{array}{lll} \boldsymbol{I I} & \\ \sum M_C=0 & V_{P 1} \cdot 2-1 \cdot(9-x)=0 & V_{P 1}=\frac{9-x}{2} \\ \sum y=0 & V_{P 1}+V_C-1=0 & \\ & V_C=\frac{2}{2}-\frac{9-x}{2}=\frac{x-7}{2} & V_C(7)=0 \\ & & V_C(9)=1 \\ & & V_C(12)=2,5 \end{array}

3. Przechodzimy na belkę trzecią (podrzędną). Uwzględniamy teraz obliczoną reakcję $V_{p1}$:

\(\boldsymbol{I I I} \) \begin{array}{lll} \sum M_B=0 & V_A \cdot 5+V_{P 1} \cdot 2=0 \quad V_A=-\frac{2}{5} \cdot \frac{9-x}{2}=\frac{x-9}{5} \\ \sum y=0 & V_A+V_B-V_{P 1}=0 & \\ & V_B=\frac{9-x}{2}-\frac{x-9}{5}=\frac{45-5 x}{10}-\frac{2 x-18}{10}=\frac{63-7 x}{10} \\ V_A(7)=-0,4 \\ V_A(9)=0 \\ V_A(12)=0,6 & V_B(7)=1,4 \quad V_B(9)=0 \quad V_B(12)=-2,1 & \end{array}

Przypadek III: Siła na belce nadrzędnej (przedział $12 \le X \le 15$)

Siła jednostkowa znajduje się na belce nadrzędnej (pierwszej).

1. Zaczynamy od belki pierwszej (nadrzędnej):

\begin{aligned} &\begin{array}{lll} \boldsymbol{I} & & \\ \sum M_D=0 & V_{P 2} \cdot 2-1 \cdot(14-x)=0 & \\ & V_{P 2}=\frac{14-x}{2} & \\ \sum y=0 & V_{P 2}-1+V_D=0 \quad V_D=\frac{2}{2}-\frac{14-x}{2}=\frac{x-12}{2} & V_D(12)=0 \\ & & V_D(14)=1 \\ & & V_D(15)=1,5 \end{array} \end{aligned}

2. Przechodzimy na belkę drugą (środkową). Uwzględniamy $V_{p2}$ jako obciążenie:

\begin{aligned} &\begin{array}{lll} \boldsymbol{I I} & & \\ \sum M_D=0 & V_{P 2} \cdot 2-1 \cdot(14-x)=0 & \\ & V_{P 2}=\frac{14-x}{2} & \\ \sum y=0 & V_{P 2}-1+V_D=0 \quad V_D=\frac{2}{2}-\frac{14-x}{2}=\frac{x-12}{2} & V_D(12)=0 \\ & & V_D(14)=1 \\ & & V_D(15)=1,5 \end{array} \end{aligned}

3. Przechodzimy na belkę trzecią (podrzędną). Uwzględniamy $V_{p1}$ jako obciążenie:

\begin{array}{lll} \text { III } & & \\ \sum M_B=0 & V_A \cdot 5+V_{P 1} \cdot 2=0 \quad V_A=-\frac{2}{5} \cdot \frac{3 x-42}{4}=\frac{42-3 x}{10} & V_A(12)=0,6 \\ \Sigma y=0 & V_A+V_B-V_{P 1}=0 & V_A(14)=0 \\ & & V_A(15)=-0,3 \\ & V_B=\frac{3 x-42}{4}-\frac{42-3 x}{10}=\frac{21 x-294}{20} & V_B(12)=-2,1 \\ & & V_B(14)=0 \\ & & V_B(15)=1,05 \end{array}

2. Linie wpływu sił przekrojowych w przekroju $k$

Siły przekrojowe wyznacza się w przekroju $k$, dzieląc analizę na dwa główne przedziały: siła przed przekrojem i siła za przekrojem. W drugim przedziale konieczne jest uwzględnienie różnych funkcji reakcji podporowych $V_A$, które zależą od tego, na której belce znajduje się siła jednostkowa.

Linia wpływu siły tnącej $Q_k$ (Przekrój $k$ znajduje się na belce trzeciej)

Patrzymy z lewej strony przekroju $k$.

1. **Siła przed przekrojem $k$ ($0 \le X \le 3$):**

Patrząc z lewej strony, widzimy reakcję $V_A$ oraz siłę jednostkową $1$ . \[ Q_k = V_A - 1 \] W tym przedziale musimy zastosować funkcję $V_A$ z przypadku I (gdy siła była na belce trzeciej) .

\[ \begin{aligned} Q_K^L=V_A-1=\frac{5-x}{5}-\frac{5}{5}=\frac{-x}{5} & \\ & Q_K(0)=0 \\ & Q_K(3)=-0,6 \end{aligned} \]

2. **Siła za przekrojem $k$ ($3 \le X \le 15$):**

Patrząc z lewej strony, widzimy tylko reakcję $V_A$, ponieważ siła jednostkowa znajduje się już za przekrojem [9]. Reakcja $V_A$ przyjmuje trzy różne funkcje w zależności od tego, na której belce znajduje się siła . \[ Q_k = V_A \]

Dla $3 \le X \le 7$: Używamy funkcji $V_A$ z Przypadku I .
Dla $7 \le X \le 12$: Używamy funkcji $V_A$ z Przypadku II .
Dla $12 \le X \le 15$: Używamy funkcji $V_A$ z Przypadku III .

II. \(\quad x \in(3 ; 15)\) \[ \begin{aligned} Q_K^L=V_A & \rightarrow x \in(3 ; 7) \quad \rightarrow \quad Q_K^L=\frac{5-x}{5} \\ & \rightarrow x \in(7 ; 12) \quad \rightarrow \quad Q_K^L=\frac{x-9}{5} \\ & \rightarrow x \in(12 ; 15) \quad \rightarrow \quad Q_K^L=\frac{42-3 x}{10} \end{aligned} \]

Linia wpływu momentu gnącego $M_k$

Moment gnący w przekroju $k$ jest analizowany poprzez sumowanie momentów z lewej strony przekroju, ponieważ jest to prostsze.

1. **Siła przed przekrojem $k$ ($0 \le X \le 3$):**

Patrząc z lewej strony, widzimy reakcję $V_A$ na ramieniu 3, oraz siłę jednostkową $1$ na ramieniu $(3 - X)$ . \[ M_K^L=V_A \cdot 3-1 \cdot(3-x)=\frac{5-x}{5} \cdot 3-\frac{15-5 x}{5}=\frac{2 x}{5} \quad \begin{aligned} & M_K(0)=0 \\ & M_K(3)=1,2 \end{aligned} \]

2. **Siła za przekrojem $k$ ($3 \le X \le 15$):**

Patrząc z lewej strony, widzimy tylko reakcję $V_A$ na ramieniu 3 [10]. \[ M_k = V_A \cdot 3 \] Podobnie jak w przypadku siły tnącej, musimy uwzględnić trzy różne funkcje $V_A$, zależne od przedziału, w którym znajduje się siła [10]:

Dla $3 \le X \le 7$: Używamy funkcji $V_A$ z Przypadku I.
Dla $7 \le X \le 12$: Używamy funkcji $V_A$ z Przypadku II.
Dla $12 \le X \le 15$: Używamy funkcji $V_A$ z Przypadku III.

II. \(\quad x \in(3 ; 15)\) \[ \begin{aligned} & M_K^L=V_A \cdot 3 \quad \rightarrow \quad x \in(3 ; 7) \quad \rightarrow \quad M_K^L=\frac{5-x}{5} \cdot 3 \\ & \rightarrow \quad x \in(7 ; 12) \quad \rightarrow \quad M_K^L=\frac{x-9}{5} \cdot 3 \\ & \rightarrow \quad x \in(12 ; 15) \quad \rightarrow \quad M_K^L=\frac{42-3 x}{10} \cdot 3 \end{aligned} \]

Rozwiązanie belki metodą kinematyczną

Metoda kinematyczna służy do szybkiego i graficznego wyznaczania linii wpływu reakcji podporowych oraz sił przekrojowych w belkach, w tym w belkach Gerberowskich, bez konieczności zapisywania i rozwiązywania równań statyki.

Poniższy opis dotyczy belki Gerberowskiej składającej się z belek ponumerowanych od najwyższej (nadrzędnej) do najniższej (podrzędnej).

Wykresy linii wpływu

Zasady metody kinematycznej

Metoda kinematyczna opiera się na czterech podstawowych zasadach, które determinują kształt linii wpływu:

**Przejście:** Linia wpływu może przechodzić wyłącznie z **belki podrzędnej na belkę nadrzędną** (z dołu na górę), ale nigdy odwrotnie. Oznacza to, że jeśli rysujemy linię wpływu dla reakcji na belce nadrzędnej, na belce podrzędnej jej wartość musi być zerowa.
**Liniowość:** Linia wpływu zmienia się **wyłącznie liniowo** (są to zawsze funkcje liniowe).
**Wartości na podporach:** Linia wpływu ma wartość **jedynki (1)** nad podporą, dla której jest rysowana (u siebie), a na wszystkich pozostałych podporach ma wartość **zera (0)**.
**Monotoniczność:** Przechodząc z belki podrzędnej na belkę nadrzędną, linia wpływu zmienia swoją **monotoniczność** (odbija się) w miejscu, w którym znajduje się przegub.

1. Linie wpływu reakcji podporowych ($V_A, V_B, V_C, V_D$)

Rysowanie linii wpływu zaczyna się od ustalenia wartości 1 nad własną podporą i 0 nad pozostałymi podporami, a następnie łączy się te punkty zgodnie z zasadami przechodzenia i odbicia.

Linia wpływu reakcji $V_A$ (podpora na belce podrzędnej)

Ponieważ $V_A$ jest na belce najbardziej podrzędnej, linia wpływu może przejść na wszystkie wyższe belki. Zaczynamy od 1 w punkcie $A$ i 0 w punkcie $B$. Funkcja przechodzi przez 0 i liniowo biegnie do pierwszego przegubu. W przegubie następuje odbicie, co wymusza przejście na drugą belkę, a następnie bieg do 0 nad podporą $C$. Z $C$ linia wpływu ponownie się odbija i przechodzi na belkę nadrzędną, biegnąc do 0 nad podporą $D$.

Linia wpływu reakcji $V_B$ (podpora na belce podrzędnej)

Zaczynamy od 1 w punkcie $B$ i 0 w punkcie $A$. W punkcie $B$ musi nastąpić odbicie, aby przejść do 0 na końcu wysięgu belki podrzędnej (lub do 0 na podporze $A$). Przechodząc przez przegub do belki nadrzędnej, linia wpływu ponownie zmienia monotoniczność i biegnie do 0 nad podporą $C$ i dalej do $D$.

Linia wpływu reakcji $V_C$ (podpora na belce nadrzędnej)

Zaczynamy od 1 w punkcie $C$ i 0 w $A, B, D$. Ponieważ reakcja $V_C$ jest na wyższej belce, **nie może przejść** na niższą belkę podrzędną. W związku z tym, na belce podrzędnej (przed przegubem $p1$) linia wpływu jest równa 0. Dopiero od przegubu $p1$ może się odbić i liniowo biec w kierunku $C$ (gdzie ma wartość 1). Następnie odbija się w drugim przegubie $p2$ i biegnie do 0 nad podporą $D$.

Linia wpływu reakcji $V_D$ (podpora na belce najbardziej nadrzędnej)

Zaczynamy od 1 w punkcie $D$ i 0 w $A, B, C$. Ponieważ jest to najbardziej nadrzędna podpora, linia wpływu nie może przejść na żadną z niższych belek. Zatem linia wpływu ma niezerowe wartości (funkcję liniową) tylko na własnym odcinku, a na pozostałej części belki jest równa 0.

2. Linie wpływu sił przekrojowych ($Q_k, M_k$)

Linie wpływu sił przekrojowych ($Q_k$ i $M_k$) w przekroju $k$ wyznacza się, stosując wiedzę o belkach podstawowych, a następnie rozszerzając je na pozostałe przęsła Gerberowskie zgodnie z zasadami kinematycznymi.

Linia wpływu siły tnącej $Q_k$

1. **Na odcinku między dwiema podporami (gdzie znajduje się przekrój $k$):** Linia wpływu wygląda jak dla zwykłej belki swobodnie podpartej – jest to **skok o 1** w miejscu przekroju $k$, z wartości ujemnej ($-a/L$) po stronie lewej i dodatniej ($b/L$) po stronie prawej przekroju.

2. **Poza odcinkiem:** Kształt wykresu rozszerza się na pozostałe belki. Linia wpływu musi przejść na belkę nadrzędną, odbijając się od przegubu. Położenie przekroju $k$ na belce podrzędnej pozwala na przejście na wyższe belki, zmieniając monotoniczność w przegubach.

Linia wpływu momentu gnącego $M_k$

1. **Na odcinku między dwiema podporami (gdzie znajduje się przekrój $k$):** Linia wpływu ma kształt trójkąta, osiągając maksymalną wartość $\frac{a \cdot b}{L}$ w miejscu przekroju $k$.

2. **Poza odcinkiem:** Kształt wykresu rozszerza się na belkę nadrzędną. Podobnie jak dla siły tnącej, linia wpływu przechodzi na wyższe belki, odbijając się od przegubów i zachowując liniowość.

Linie wpływu

Mechanika budowli - Linie wpływu - Przykład 2

Przykład 2