El caso que hemos utilizado hasta ahora, donde el momento torsional es un valor constante, es en cierto modo un caso particular. En este ejemplo, utilizaremos la solución para el caso general. El ángulo de torsión de dos secciones distantes x es igual a:

\begin{aligned} &x_{1} \in<0 ; a> \\ &M\left(x_{1}\right)=m \cdot x_{1} \\ &M(0)=0 \\ &M(a)=m a \\ &x_{2} \in<0 ; a> \\ &M\left(x_{2}\right)=m \cdot a \\ &M(0)=m a \\ &M(a)=m a \\ &x_{3} \in<0 ; a> \\ &M\left(x_{3}\right)=m \cdot a+2 m \cdot x_{3} \\ &M(0)=m a \\ &M(a)=3 m a \end{aligned}

Gráfico del momento torsional (no es necesario)

Índices de resistencia a la torsión y tensiones cortantes:

\begin{aligned} W_{1} &=\frac{\pi \cdot\left(d^{4}-\left(\frac{3}{4} d\right)^{4}\right)}{16 d}=\frac{175 \pi d^{3}}{4096} \\ W_{2} &=W_{3}=\frac{\pi d^{3}}{16} \\ \tau_{1} &=\frac{4096 m a}{175 \pi d^{3}}=23,406 \frac{m a}{\pi d^{3}} \\ \tau_{2} &=\frac{16 m a}{\pi d^{3}} \\ \tau_{3} &=\frac{3 m a \cdot 16}{\pi d^{3}}=\frac{48 m a}{\pi d^{3}} \end{aligned}

Condición de seguridad:

\(\tau_{\max }=\tau_{3} \leq k\) \(\frac{48 m a}{\pi d^{3}} \leq k \Rightarrow d \geq \sqrt[3]{\frac{48 m a}{\pi k}}\)

Calculamos los momentos de inercia para la torsión (necesarios para calcular el ángulo de torsión).

\begin{aligned} &I_{1}=\frac{\pi \cdot\left(d^{4}-\left(\frac{3}{4} d\right)^{4}\right)}{32}=\frac{175 \pi d^{4}}{8192} \\ &I_{2}=I_{3}=\frac{\pi d^{4}}{32} \end{aligned}

Ángulo total de torsión:

\begin{aligned} &\varphi_{c}=\int_{0}^{a} \frac{m x_{1}}{G I_{1}} d x_{1}+\int_{0}^{a} \frac{m a}{G I_{2}} d x_{2}+\int_{0}^{a} \frac{m a+2 m \cdot x_{3}}{G I_{3}} d x_{3}= \\ &=\frac{m}{G I_{1}} \int_{0}^{a} x_{1} d x_{1}+\frac{m a}{G I_{2}} \int_{0}^{a} d x_{2}+\frac{m a}{G I_{3}} \int_{0}^{a} d x_{3}+\frac{2 m}{G I_{3}} \int_{0}^{a} x_{3} d x_{3}= \\ &=\frac{8192}{175 G \pi d^{4}} \frac{1}{2} a^{2}+\frac{32 m a}{G \pi d^{4}} a+\frac{32 m a}{G \pi d^{4}} a+\frac{32 \cdot 2 m a}{G \pi d^{4}} \frac{1}{2} a^{2}=\frac{20866 m a^{2}}{175 G \pi d^{4}}=119,2 \frac{m a^{2}}{G \pi d^{4}} \end{aligned}

Torsión

Resistencia de materiales - Torsión - Ejemplo 9

Ejemplo 9