El caso que hemos utilizado hasta ahora, donde el momento torsional es un valor constante, es en cierto modo un caso particular. En este ejemplo, utilizaremos la solución para el caso general. El ángulo de torsión de dos secciones distantes x es igual a:

\(\varphi=\int_{0}^{x} \frac{M_{s}(x)}{G I_{0}} d x\)

Por lo tanto, necesitaremos la función de momentos en intervalos característicos.

\begin{aligned} &x_{1} \in<0 ; a> \\ &M\left(x_{1}\right)=M \\ &x_{2} \in<0 ; a> \\ &M\left(x_{2}\right)=-2 M \\ &x_{3} \in<0 ; a> \\ &M\left(x_{3}\right)=0 \end{aligned}

Los índices de resistencia a la torsión y las tensiones cortantes:

\begin{aligned} &W_{1}=\frac{\pi \cdot\left(\frac{2}{3} d\right)^{3}}{16}=\frac{\pi d^{3}}{54} \\ &W_{2}=W_{3}=\frac{\pi d^{3}}{16} \\ &\tau_{1}=\frac{54 M}{\pi d^{3}} \\ &\tau_{2}=\frac{-2 M \cdot 16}{\pi d^{3}}=-\frac{32 M}{\pi d^{3}} \\ &\tau_{3}=0 \end{aligned}

Condición de seguridad:

\(\tau_{\max } \leq k \frac{54 M}{\pi d^{3}} \leq k \Rightarrow d \geq \sqrt[3]{\frac{54 M}{\pi k}}\)

Calculamos los momentos de inercia para la torsión (necesarios para calcular el ángulo de torsión).

\begin{aligned} &I_{1}=\frac{\pi \cdot\left(\frac{2}{3} d\right)^{4}}{32}=\frac{\pi d^{4}}{162} \\ &I_{2}=I_{3}=\frac{\pi d^{4}}{32} \end{aligned}

Ángulo total de torsión:

\begin{aligned} &\varphi_{c}=\int_{0}^{a} \frac{M\left(x_{1}\right)}{G I_{1}} d x_{1}+\int_{0}^{a} \frac{M\left(x_{2}\right)}{G I_{2}} d x_{2}+\int_{0}^{a} \frac{M\left(x_{3}\right)}{G I_{3}} d x_{3} \\ &\varphi_{c}=\frac{M}{G I_{1}} \int_{0}^{a} d x_{1}+\frac{-2 M}{G I_{2}} \int_{0}^{a} d x_{2}+\frac{0}{G I_{3}} \int_{0}^{a} d x_{3}= \\ &=\frac{162 M}{G \pi d^{4}} a-\frac{64 M}{G \pi d^{4}} a=\frac{98 M a}{G \pi d^{4}} \end{aligned}

Torsión

Resistencia de materiales - Torsión - Ejemplo 7

Ejemplo 7