How to use the calculator?

1. Choosing the number of equations

First choose whether you want to solve a 2×2 or 3×3 system by selecting the appropriate radio button.

2. Entering coefficients

Enter the coefficients of the equations into the input fields. For each equation, provide the coefficients of the unknowns (x, y, z) and the constant term.

3. Solving

Click the "Solve system" button to obtain the results.

4. Interpreting results

For a 2×2 system: the calculator shows solutions via the substitution method and Cramer's rule, including step-by-step calculations for both.

For a 3×3 system: you'll see the solution using Cramer's rule along with calculation steps.

5. Analyzing steps

Read through the calculation steps to understand the process of solving the system of equations.

The calculator adapts to the selected number of equations and shows the appropriate methods. It's a great tool for learning and verifying linear systems solutions.

The substitution method is one of the simplest and most common ways to solve linear systems. Step by step, you express one variable in terms of the other and substitute back.

How it works

Imagine you have two equations with two unknowns, for example:

Step 1
Pick one equation where it’s easy to express one variable in terms of the other. In our example, Equation 1 already gives y as 2x + 3.

Step 2
Substitute the expression from Step 1 (the value of y) into the second equation. Then Equation 2 becomes: 3x − (2x + 3) = 7

Step 3
Solve the resulting equation for a single variable (here x). After calculations we get: 3x − 2x − 3 = 7 ⇒ x = 10

Step 4
Plug the found value of x into one of the equations to find y: y = 2(10) + 3 = 23

Step 5
Check your solution by substituting x and y into both equations to ensure they’re satisfied. If both are satisfied, you have a correct solution!

Summary

The substitution method is intuitive, expressing one variable in terms of another and substituting into the second equation. It works well for small systems and is especially useful when one equation is already simple or easy to rearrange.

Metoda wyznaczników (inaczej metoda Cramera) to sposób rozwiązywania układów równań liniowych, który wykorzystuje właściwości wyznaczników macierzy. Ta metoda jest efektywna dla małych układów, szczególnie dla układów dwóch i trzech równań liniowych.

Układ dwóch równań liniowych

Rozważmy układ dwóch równań:

Aby znaleźć rozwiązanie za pomocą metody wyznaczników, musimy obliczyć kilka wyznaczników:

Główny wyznacznik D

Wyznacznik D_x

Wyznacznik D_y

Rozwiązania dla x i y można teraz znaleźć za pomocą wzorów:

Układ trzech równań liniowych

Teraz rozważmy układ trzech równań:

Główny wyznacznik D

Wyznacznik D_x

Wyznacznik D_y

Wyznacznik D_z

Rozwiązania dla x, y i z można teraz znaleźć za pomocą wzorów:

Kiedy metoda Cramera działa?

Metoda wyznaczników działa, gdy główny wyznacznik D jest różny od zera (D ≠ 0). Jeśli D = 0, to układ równań może być sprzeczny (nie ma rozwiązań) lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

Podsumowanie

Metoda Cramera to efektywny sposób na rozwiązywanie układów równań liniowych z użyciem wyznaczników macierzy. Działa dobrze przy małych układach, takich jak układy dwóch lub trzech równań, i jest stosunkowo łatwa do zrozumienia i zastosowania w praktyce.